trigonometri
Trigonometri
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari
Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.
[sunting] Sejarah awal
Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.
Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga.
Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.
Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis.
[sunting] Trigonometri sekarang ini
Ada banyak aplikasi trigonometri. Terutama adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit.
Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical imaging (CAT scan dan ultrasound), farmasi, kimia, teori angka (dan termasuk kriptologi), seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dan geodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, teknik sipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi.
Ada pengembangan modern trigonometri yang melibatkan "penyebaran" dan "quadrance", bukan sudut dan panjang. Pendekatan baru ini disebut trigonometri rasional dan merupakan hasil kerja dari Dr. Norman Wildberger dari Universitas New South Wales. Informasi lebih lanjut bisa dilihat di situs webnya [1].
Rumus-Rumus Trigonometri
Matematika Kelas 3 > Trigonometri
430
< Sebelum Sesudah >
PENJUMLAHAN DUA SUDUT ( + )
sin( + ) = sin cos + cos sin
cos( + ) = cos cos - sin sin
tg() = tg + tg
1 - tg2
SELISIH DUA SUDUT ( - )
sin( - ) = sin cos - cos sin
cos( - ) = cos cos + sin sin
tg(-) = tg - tg
1 + tg2
SUDUT RANGKAP
sin 2 = 2 sin cos
cos 2 = cos2 - sin2
= 2 cos2 - 1
= 1 - 2 sin2
tg 2 = 2 tg 2
1 - tg2
sin cos = ½ sin 2
cos2 = ½(1 + cos 2)
sin2 = ½ (1 - cos 2)
Secara umum :
sin n = 2 sin ½n cos ½n
cos n = cos2 ½n - 1
= 2 cos2 ½n - 1
= 1 - 2 sin2 ½n
tg n = 2 tg ½n
1 - tg2 ½n
JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA
BENTUK PENJUMLAHAN PERKALIAN
sin + sin = 2 sin + cos -
2 2
sin - sin = 2 cos + sin -
2 2
cos + cos = 2 cos + cos -
2 2
cos + cos = - 2 sin + sin -
2 2
BENTUK PERKALIAN PENJUMLAHAN
2 sin cos = sin +) + sin -)
2 cos sin = sin +) - sin -)
2 cos cos = cos +) + cos -)
- 2 sin cos = cos +) - sin -)
PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA
Bentuk a cos x + b sin x
Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - )
a cos x + b sin x = K cos (x-)
dengan :
K = a2 + b2 dan tg = b/a = ... ?
Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut
I II III IV
a + - - +
b + + - -
keterangan :
a = koefisien cos x
b = koefisien sin x
PERSAMAAN
I. sin x = sin x1 = + n.360°
x2 = (180° - ) + n.360°
cos x = cos x = ± + n.360°
tg x = tg a x = a + n.180° (n = bilangan bulat)
II. a cos x + b sin x = c
a cos x + b sin x = C
K cos (x-) = C
cos (x-) = C/K
syarat persamaan ini dapat diselesaikan
-1 C/K 1 atau K² C² (bila K dalam bentuk akar)
misalkan C/K = cos
cos (x - ) = cos
(x - ) = ± + n.360° x = ( ± ) + n.360°
< Sebelum Sesudah >
Bio 1
2
3
Fis 1
2
3
Kim 1
2
3
Mat 1
2
3
tryout gratis!!
tips umptn
katanya sih sakit gigi lebih sakit dari pada nggak diterima di perguruan tinggi negeri
selanjutnya
Download Macromedia Shockwave
supaya bisa liat Modul Multimedia
copyright® praweda internet solution division
PT. Praweda Ciptakarsa Informatika
www.praweda
Melukis Grafik
Matematika Kelas 3 > Trigonometri
431
< Sebelum Sesudah >
y = a cos x + b sin x
a cos x + b sin x = K cos (x - )
Maksimum = K bila cos (x - ) = 1
cos (x - ) = cos 0°
untuk x = + n.360°
Minimum = -K bila cos (x - a) = -1
cos (x - a) = cos 180°
untuk x = ± 180° + n.360°
NILAI PEMBUAT NOL FUNGSI (TITIK POTONG DENGAN SUMBU-x)
y = 0 bila cos (x-a) = 0
cos (x-a) = cos 90°
untuk x = a ± 90° + n360°
grafik dibuat berdasarkan data-data diatas
Pengertian Limit
Matematika Kelas 3 > Limit
432
< Sebelum Sesudah >
Untuk x mendekati harga tertentu dapat ditentukan nilai pendekatan dari f(x) yang merupakan limit (nilai Batas) dari f(x) tersebut.
CONTOH :
Untuk x mendekati tak berhingga, maka f(a) = 2/x akhirnya akan mendekati 0.
ditulis : l i m 2 = 0
x x
Hasil yang harus dihindari
0/0 ; / ; - ; 0, (*) (bentuk tak tentu)
TEOREMA
1. Jika f(x) = c maka l i m f(x) = c
x a
2. Jika l i m f(x) = F dan l i m g(x) = G maka berlaku
x a x a
a. l i m [f(x) g(x)] = l i m f(x) l i m g(x) = F ± G
x a x a x a
b. l i m [f(x) • g(x)] = l i m f(x) • l i m g(x) = F • G
x a x a x a
c. l i m k • f(x) = k l i m f(x) = k • F
x a x a
l i m f(x)
d. l i m f(x) = x a = F
x a g(x) l i m g(x) G
x a
LANGKAH MENCARI LIMIT SUATU FUNGSI
1. Harga yang didekati disubstitusikan ke fangsi yang dimaksud.
Bila bukan (*) maka itulah nilai limitnya.
2. Bila (*) maka usahakan diuraikan.
Pada fungsi pecahan, faktor yang sama pada pembilang dan penyebut (penyebab bentuk (*)) dicoret. Pencoretan im boleh dilakukan, karena x hanya mardekati harga yang diberikan. Kemudian baru harga yang didekati disubstitusikan. Dalam konteks limit perhatikan hasil pembagian berikut :
0/a = 0 ; a/0 = ; /a = ; a/ = 0 ; ± a =konstanta)
Limit Fungsi Trigonometri
Matematika Kelas 3 > Limit
433
< Sebelum Sesudah >
KETENTUAN
Untuk x <<< ( x 0 ) maka sin x x
(x <<< kecil sekali ; setara )
l i m sin x = 1 l i m tg x = 1
x 0 x x 0 x
l i m x = 1 l i m x = 1
x 0 sin x x 0 tg x
PERLUASAN
l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x 0 bx x 0 bx
l i m ax = a/b l i m ax = a/b
x 0 sin bx x 0 tg bx
l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x 0 sin bx x 0 tg bx
l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x 0 tg bx x 0 sin bx
Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi:
cos x = sin (90° - x)
ctg x = tg (90° - x)
sin ax = 2 sin ½ax cos ½ax
cos ax = 1- 2 sin² ½ax
cos²x = 1 - sin²x
HAL-HAL KHUSUS
l i m axm + bxm-1 + .... =
x pxn + qxn-1 + ... untuk m > n ;
a/p untuk m =n ;
0 untuk m < n
l i m ax2 + bx + c - dx2 + ex + f
x untuk a > d ;
b-e untuk m =n ;
2a
- untuk a < d
Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar.
DALIL L'HOSPITAL
Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a
dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = maka
l i m f(x) = l i m f(x)
x g(x) x a g(x)
CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR
1. l i m x2 - 5x + 6 = (3)2 - 5(3) + 6 = 0
x 3
2. l i m 3x - 2 = (*) Uraikan
x 2x + 1
x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3
x(2 - 1/x) 2 + 1/x 2 - 0 2
atau langsung gunakan hal khusus
3. l i m x2 - x - 1 = (*) Uraikan
x 10x + 9
x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x = - 1 - 0 = =
x(10 - 9/x) 10 + 9/x 10 + 0 10
atau langsung gunakan hal khusus
4. l i m x2 - 3x + 2 = 0 (*) Uraikan
x 2 x2 - 5x + 6 0
(x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1
(x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3
atau langsung gunakan hal khusus Differensial
5. l i m x3 - 3x2 + 3x - 1 = 0 (*) Uraikan
x 1 x2 - 5x + 6 0
(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6
atau langsung gunakan hal khusus Differensial
6. l i m 2 + x - 2x = 0 (*) Hilangkan tanda akar dengan
x 2 x - 2 0 mengalikan bentuk sekawan
(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6
atau langsung gunakan hal khusus Differensial
7. l i m (3x - 9x2 + 4x) = - (*) Hilangkan tanda akar
x
l i m (3x - 9x2 + 4x ) = 3x - 9x2 + 4x = (*) Hilangkan tanda
x 3x - 9x2 + 4x akar
l i m (9x2 - (9x2 + 4x) = l i m -4x =
x 3x + (9x2 + 4x) x 3x + 3x [1+(a/9x)]
l i m -4 = -4 = -2
x 3 + 3(1 + 0) 6 3
atau langsung gunakan hal khusus
CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
1. l i m sin 2x = 0 (*)
x 0 tg 3x 0
sin 2x = 3x 2 = 1 . 1 . 2 = 2
2x tg 3x 3 3 3
2. l i m 1 - cos 2x = 0
x 0 sin 2x 0
1 - (1 - 2 sin² 2x) = 2 sin² x = sin x = tg x = 0
2 sin x cos x 2 sin x cos cos x
3. l i m 1 - cos x = 0
x 0 3x² 0
2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1
3 . 4 . (½x) 6 (½x) (½x) 6 6
atau langsung gunakan hal khusus Differensial
4. l i m sin x - sin a = 0 (*)
x 0 x - a 0
2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) =
x - a ½ (x - a )
cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a
atau langsung gunakan hal khusus Differensial
Logika matematika
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari
Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori model, teori rekursi, teori pembuktian, serta matematika konstruktif. Bidang-bidang ini memiliki hasil dasar logika yang serupa.
Algebra
Applied Mathematics
Calculus and Analysis
Discrete Mathematics
Foundations of Mathematics
Geometry
History and Terminology
Number Theory
Probability and Statistics
Recreational Mathematics
Topology
Alphabetical Index
Interactive Entries
Random Entry
New in MathWorld
MathWorld Classroom
About MathWorld
Contribute to MathWorld
Send a Message to the Team
MathWorld Book
12,957 entries
Last updated: Sat Jun 13 2009
Geometry > Trigonometry > General Trigonometry >
History and Terminology > Mnemonics >
Interactive Entries > Interactive Demonstrations >
Trigonometry
The study of angles and of the angular relationships of planar and three-dimensional figures is known as trigonometry. The trigonometric functions (also called the circular functions) comprising trigonometry are the cosecant , cosine , cotangent , secant , sine , and tangent . The inverses of these functions are denoted , , , , , and . Note that the notation here means inverse function, not to the power.
The trigonometric functions are most simply defined using the unit circle. Let be an angle measured counterclockwise from the x-axis along an arc of the circle. Then is the horizontal coordinate of the arc endpoint, and is the vertical component. The ratio is defined as . As a result of this definition, the trigonometric functions are periodic with period , so
(1)
where is an integer and func is a trigonometric function.
A right triangle has three sides, which can be uniquely identified as the hypotenuse, adjacent to a given angle , or opposite . A helpful mnemonic for remembering the definitions of the trigonometric functions is then given by "oh, ah, o-a," "Soh, Cah, Toa," or "SOHCAHTOA", i.e., sine equals opposite over hypotenuse, cosine equals adjacent over hypotenuse, and tangent equals opposite over adjacent,
(2)
(3)
(4)
Another mnemonic probably more common in Great Britain than the United States is "Tommy On A Ship Of His Caught A Herring."
From the Pythagorean theorem,
(5)
It is therefore also true that
(6)
and
(7)
The trigonometric functions can be defined algebraically in terms of complex exponentials (i.e., using the Euler formula) as
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
Hybrid trigonometric product/sum formulas are
(19)
(20)
(21)
(22)
Osborne's rule gives a prescription for converting trigonometric identities to analogous identities for hyperbolic functions.
For imaginary arguments,
(23)
(24)
For complex arguments,
(25)
(26)
For the absolute square of complex arguments ,
(27)
(28)
The complex modulus also satisfies the curious identity
(29)
The only functions satisfying identities of this form,
(30)
are , , and (Robinson 1957).
SEE ALSO: Cosecant, Cosine, Cotangent, Double-Angle Formulas, Euclidean Number, Half-Angle Formulas, Inverse Cosecant, Inverse Cosine, Inverse Cotangent, Inverse Secant, Inverse Sine, Inverse Tangent, Inverse Trigonometric Functions, Multiple-Angle Formulas, Osborne's Rule, Polygon, Prosthaphaeresis Formulas, Secant, Sine, SOHCAHTOA, Tangent, Trigonometric Addition Formulas, Trigonometry Angles, Trigonometric Functions, Trigonometric Power Formulas, Trigonometric Series Formulas, Werner Formulas
REFERENCES:
Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Circular Functions." §4.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 71-79, 1972.
Bahm, L. B. The New Trigonometry on Your Own. Patterson, NJ: Littlefield, Adams & Co., 1964.
Beyer, W. H. "Trigonometry." CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 134-152, 1987.
Borchardt, W. G. and Perrott, A. D. A New Trigonometry for Schools. London: G. Bell, 1930.
Dixon, R. "The Story of Sine and Cosine." §4.4 in Mathographics. New York: Dover, pp. 102-106, 1991.
Hobson, E. W. A Treatise on Plane Trigonometry. London: Cambridge University Press, 1925.
Kells, L. M.; Kern, W. F.; and Bland, J. R. Plane and Spherical Trigonometry. New York: McGraw-Hill, 1940.
Maor, E. Trigonometric Delights. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1998.
Morrill, W. K. Plane Trigonometry, rev. ed. Dubuque, IA: Wm. C. Brown, 1964.
Robinson, R. M. "A Curious Mathematical Identity." Amer. Math. Monthly 64, 83-85, 1957.
Siddons, A. W. and Hughes, R. T. Trigonometry, Part I. London: Cambridge University Press, 1929a.
Siddons, A. W. and Hughes, R. T. Trigonometry, Part II. London: Cambridge University Press, 1929b.
Siddons, A. W. and Hughes, R. T. Trigonometry, Part III. London: Cambridge University Press, 1929c.
Siddons, A. W. and Hughes, R. T. Trigonometry, Part IV. London: Cambridge University Press, 1929d.
Sloane, N. J. A. Sequence A003401/M0505 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."
Thompson, J. E. Trigonometry for the Practical Man. Princeton, NJ: Van Nostrand, 1946.
Yates, R. C. "Trigonometric Functions." A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 225-232, 1952.
Weisstein, E. W. "Books about Trigonometry." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/Trigonometry.html.
Zill, D. G. and Dewar, J. M. Trigonometry, 2nd ed. New York: McGraw-Hill 1990.
CITE THIS AS:
Weisstein, Eric W. "Trigonometry." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Trigonometry.html
Contact the MathWorld Team
© 1999-2009 Wolfram Research, Inc. | Terms of Use
Trigonometry in the
Cofunction Identities for Sine and Cosine
Get your own MathWorld T-shirt »
Other Wolfram Web Resources »
Wolfram Research
Mathematica Home Page
Mathematica Documentation Center
Wolfram Demonstrations Project
Online Integrator
Functions Site
Wolfram Tones
Wolfram Science
Wolfram Blog
more…
N
egasi atau ingkaran mirip seperti lawan kata dalam bahasa Indonesia, tapi lebih ditujukan untuk kalimat. Jadi negasi adalah pengingkaran kalimat atau lawan dari sebuah kalimat. Ini tidak diajarkan dalam pelajaran Bahasa, tapi di Logika Matematika. Tidak mengada2 dan bukan tanpa landasan teori.
Untuk menentukan negasi dari kalimat, ada 2 hal yang harus dipenuhi.
Pertama struktur kalimat. Antara kalimat semula dengan negasinya harus menunjukkan perlawanan.
Kedua, benar salahnya juga harus berlawanan. Jika kalimat semula bernilai benar, maka negasinya harus bernilai salah. Demikian sebaliknya.
Atas dasar itu, maka dalam menentukan negasi, kita ndak bisa hanya mengandalkan lawan kata. Kalau dalam bahasa Indonesia, naik lawannya turun. Dalam matematika, itu salah. Naik lawannya tidak naik!.
Sepintas tampaknya sama, tapi itu sangat beda.
Kenapa?. Karena dalam matematika, jawaban harus lengkap.
Lawannya naik ndak cuma turun, tapi datar juga iya. Bukankah datar itu juga tidak naik?. Lagi pula, kalau hanya mengandalkan lawan kata, kita akan kesulitan sendiri, karena banyak kata yang ndak punya lawan kata. Besar lawannya kecil, jauh lawannya dekat, tua lawannya muda. Lha kalau “jatuh”. Apa lawan katanya?. Biru, apa pula lawan katanya?.
Di Matematika kita ndak akan kesulitan. Besar lawannya tidak besar, tua lawannya tidak tua, jatuh lawannya ndak jatuh, biru lawannya ya tidak biru!.
Gampang kan?. Cukup nambah “tidak”.
Tapi kalau nggak teliti, kita bisa nyasar juga.
Contoh dalam kalimat:
Badan Andi kurus >< Badan Andi tidak kurus (bisa gemuk, bisa pas2an)
Jangan sampai keliru “Badan Andi gemuk”, karena tidak lengkap. Bukankah badan pas2an juga nggak kurus?.
Prinsip matematika itu benar dan salah, tidak kenal yang namanya kurang sedikit atau lebih sedikit.
5 + 3 itu bukan 7,9999 bukan pula 8,0001. Pantang ada jawaban tak lengkap, anti jawaban berlebihan.
Contoh lain:
Ada orang berkacamata >< Tidak ada orang berkacamata
Bagaimana jika dijawab “Ada orang tidak berkacamata”.
Lagi2 sepintas tampak betul, tapi itu salah.
Kenapa salah?.
Secara bahasa memang sudah menunjukkan perlawanan, tapi dari sisi kebenaran, belum menunjukkan perlawanan. Ada orang berkacamata, kalimat itu benar, karena memang ada orang yg berkacamata. Ada orang tidak berkacamata, kalimat ini benar juga, karena kita tau, memang ada orang yg nggak pakai kacamata. Negasi kalimat bernilai benar harus bernilai salah. Maka negasi yang tepat adalah “Tidak ada orang berkacamata”.
Menentukan negasi dilakukan dengan menambah kata “tidak” di tempat yang tepat, atau menghilangkannya jika kalimatnya sudah memuat kata “tidak”. Jangan asal taruh!.
Ingat, negasi bukanlah lawan kata.
Jangan sampai negasi dari “Ibu Kartini pahlawan wanita Indonesia” ditulis “Bapak Kartono penjahat pria Israel”…
Logika disjungsi
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari
Dalam logika dan bidang teknik yang memakainya, disjungsi, atau atau, adalah operator logika dalam kalkulus proposisional. Hasil dari dua proposisi juga disebut disjungsi mereka. Hasil disjungsi adalah salah jika kedua proposisinya salah; jika tidak, hasilnya adalah benar.
Artikel mengenai logika ini adalah suatu tulisan rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia mengembangkannya.
Konjungsi adalah peristiwa yang terjadi saat jarak sudut (elongasi) suatu benda dengan benda lainnya sama dengan nol derajat.
Dalam pendekatan astronomi, konjungsi merupakan peristiwa saat matahari dan bulan berada segaris di bidang ekliptika yang sama. Pada saat tertentu, konjungsi ini dapat menyebabkan terjadinya gerhana matahari.
Tulisan rintisan ini belum dikategorikan, tapi Anda dapat membantu Wikipedia mengembangkannya.
DIMENSI TIGA
DEFINISI, AKSIOMA DAN DALIL
Pengertian tentang Definisi, Aksioma dan Dalil :
1. Sifat-sifat yang dikemukakan untuk memperkenalkan nama sesuatu dalam pembicaraan tentang geometri disebut Definisi /Batasan.
2. Aksioma adalah pendapat yang dijadikan pedoman dasar dan merupakan Dalil Pemula, sehingga kebenarannya tidak perlu dibuktikan lagi, atau Aksioma yaitu suatu pernyataan yang diterima sebagai kebenaran dan bersifat umum, tanpa memerlukan pembuktian.Beberapa aksioma yang diperlukan dalam geometri ruang dikemukakan oleh EUKLIDES.
3. Dalil, (kaidah atau teorema) adalah kebenaran yang diturunkan dari aksioma, sehingga kebenarannya perlu dibuktikan terlebih dahulu.
AKSIOMA-AKSIOMA :
1. Melalui dua titik sembarang hanya dapat dibuat sebuah garis lurus.
2. Jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua titik persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang.
3. Melalui tiga buah titik sembarang hanya dapat dibuat sebuah bidang.
4. Melalui sebuah titik yang berada di luar sebuah garis tertentu, hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejAjar dengan garis tertentu tersebut.
DALIL-DALIL :
A. Dalil untuk menentukan bidang :
1. Sebuah bidang ditemukan oleh tiga titik sembarang.
2. Sebuah bidang ditentukan oleh sebuah garis dan sebuah titik(titik berada diluar garis).
3. Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis berpotongan.
4. Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis sejajar.
B. Dalil Tentang Dua Garis Sejajar:
5. garis k // garis l
garis l // garis m
–––––––––––––––
garis k // garis m
6. garis k // garis h dan garis k memotong garis g
garis l // garis h dan garis l memotong garis g
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
garis k, garis l, dan garis g terletak pada sebuah bidang
7. garis k // garis l
garis l menembus bidang
–––––––––––––––––––––––––
garis k menembus bidang
C. Dalil Tentang garis Sejajar Bidang
8. garis g // garis h
garis h terletak pada bidang
––––––––––––––––––––––––
garis g // bidang
9. bidang melalui garis g
garis g // bidang
–––––––––––––––––––––––––––
(bidang , bidang ) // garis g
10. garis g // garis h
garis h // bidang
–––––––––––––––––
garis g // bidang
11. bidang dan bidang berpotongan
bidang // garis g
bidang // garis g
–––––––––––––––––––––––––––
(bidang , bidang ) // garis g
D. Dalil tentang Dua Bidang Sejajar:
12. garis a // garis g
garis b // garis h
a dan b berpotongan pada bidang
g dan h berpotongan pada bidang
––––––––––––––––––––––––––––
bidang // bidang
13. bidang // bidang
bidang memotong bidang dan bidang
–––––––––––––––––––––––––––––––––––
(, ) // (, )
14. garis g menembus bidang
bidang // bidang
––––––––––––––––––––––––
garis g menembus bidang
15. garis g // bidang
bidang // bidang
–––––––––––––––––
garis g // bidang
16. garis g terletak pada bidang
bidang // bidang
–––––––––––––––––
garis g // bidang
17. bidang // bidang
bidang memotong bidang
–––––––––––––––––––––––––––––
bidang juga memotong bidang
DIarsipkan di bawah: MatematikaQ
onjunction (konjungsi)
Konjungsi digunakan untuk menyatakan kalimat yang menggunakan kata “dan”. Konjungsi disimbolkan dengan Λ. Contoh penulisannya adalah p Λ q (dibaca p dan q). Misalnya : Anda sedang duduk dan membaca.
Disjunction (disjungsi)
Disjungsi digunakan untuk menyatakan kalimat yang menggunakan kata “atau”. Disjungsi disimbolkan dengan ν. Contoh penulisannya adalah p ν q (dibaca p atau q). Misalnya : Anda sedang duduk atau membaca.
Implication (implikasi)
Implikasi digunakan untuk menyatakan kalimat dalam bentuk jika - maka -. Implikasi disimbolkan dengan →. Contoh penulisannya adalah p → q (dibaca jika p maka q). Misalnya : Jika Anda sedang duduk maka Anda membaca.
Biimplication (biimplikasi)
Biimplikasi digunakan untuk menyatakan kalimat dalam bentuk - jika dan hanya jika -. Biimplikasi disimbolkan dengan ↔. Contoh penulisannya adalah p ↔ q (dibaca p jika dan hanya jika q). Misalnya : Anda sedang duduk jika dan hanya jika membaca.
Premis I: Namanya Roque Santa Cruz.
Premis II: mencetak gol saat mendekati natal.
Kesimpulan: Selebrasi gol: Menjadi Santa Klaus.
Premis I: Namanya Joey Barton
Premis II: Tidak bisa bermain kalau tidak kasar.
Kesimpulan: Leher lawan coba dipatahkan.
Premis I: Didier Drogba cidera.
Premis II: Mendapat tempat utama dan berhasil mencetak gol.
Kesimpulan: Selebrasi gol: Meloncat setinggi-tingginya.
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari
Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.
[sunting] Sejarah awal
Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.
Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga.
Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.
Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis.
[sunting] Trigonometri sekarang ini
Ada banyak aplikasi trigonometri. Terutama adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit.
Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical imaging (CAT scan dan ultrasound), farmasi, kimia, teori angka (dan termasuk kriptologi), seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dan geodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, teknik sipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi.
Ada pengembangan modern trigonometri yang melibatkan "penyebaran" dan "quadrance", bukan sudut dan panjang. Pendekatan baru ini disebut trigonometri rasional dan merupakan hasil kerja dari Dr. Norman Wildberger dari Universitas New South Wales. Informasi lebih lanjut bisa dilihat di situs webnya [1].
Rumus-Rumus Trigonometri
Matematika Kelas 3 > Trigonometri
430
< Sebelum Sesudah >
PENJUMLAHAN DUA SUDUT ( + )
sin( + ) = sin cos + cos sin
cos( + ) = cos cos - sin sin
tg() = tg + tg
1 - tg2
SELISIH DUA SUDUT ( - )
sin( - ) = sin cos - cos sin
cos( - ) = cos cos + sin sin
tg(-) = tg - tg
1 + tg2
SUDUT RANGKAP
sin 2 = 2 sin cos
cos 2 = cos2 - sin2
= 2 cos2 - 1
= 1 - 2 sin2
tg 2 = 2 tg 2
1 - tg2
sin cos = ½ sin 2
cos2 = ½(1 + cos 2)
sin2 = ½ (1 - cos 2)
Secara umum :
sin n = 2 sin ½n cos ½n
cos n = cos2 ½n - 1
= 2 cos2 ½n - 1
= 1 - 2 sin2 ½n
tg n = 2 tg ½n
1 - tg2 ½n
JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA
BENTUK PENJUMLAHAN PERKALIAN
sin + sin = 2 sin + cos -
2 2
sin - sin = 2 cos + sin -
2 2
cos + cos = 2 cos + cos -
2 2
cos + cos = - 2 sin + sin -
2 2
BENTUK PERKALIAN PENJUMLAHAN
2 sin cos = sin +) + sin -)
2 cos sin = sin +) - sin -)
2 cos cos = cos +) + cos -)
- 2 sin cos = cos +) - sin -)
PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA
Bentuk a cos x + b sin x
Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - )
a cos x + b sin x = K cos (x-)
dengan :
K = a2 + b2 dan tg = b/a = ... ?
Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut
I II III IV
a + - - +
b + + - -
keterangan :
a = koefisien cos x
b = koefisien sin x
PERSAMAAN
I. sin x = sin x1 = + n.360°
x2 = (180° - ) + n.360°
cos x = cos x = ± + n.360°
tg x = tg a x = a + n.180° (n = bilangan bulat)
II. a cos x + b sin x = c
a cos x + b sin x = C
K cos (x-) = C
cos (x-) = C/K
syarat persamaan ini dapat diselesaikan
-1 C/K 1 atau K² C² (bila K dalam bentuk akar)
misalkan C/K = cos
cos (x - ) = cos
(x - ) = ± + n.360° x = ( ± ) + n.360°
< Sebelum Sesudah >
Bio 1
2
3
Fis 1
2
3
Kim 1
2
3
Mat 1
2
3
tryout gratis!!
tips umptn
katanya sih sakit gigi lebih sakit dari pada nggak diterima di perguruan tinggi negeri
selanjutnya
Download Macromedia Shockwave
supaya bisa liat Modul Multimedia
copyright® praweda internet solution division
PT. Praweda Ciptakarsa Informatika
www.praweda
Melukis Grafik
Matematika Kelas 3 > Trigonometri
431
< Sebelum Sesudah >
y = a cos x + b sin x
a cos x + b sin x = K cos (x - )
Maksimum = K bila cos (x - ) = 1
cos (x - ) = cos 0°
untuk x = + n.360°
Minimum = -K bila cos (x - a) = -1
cos (x - a) = cos 180°
untuk x = ± 180° + n.360°
NILAI PEMBUAT NOL FUNGSI (TITIK POTONG DENGAN SUMBU-x)
y = 0 bila cos (x-a) = 0
cos (x-a) = cos 90°
untuk x = a ± 90° + n360°
grafik dibuat berdasarkan data-data diatas
Pengertian Limit
Matematika Kelas 3 > Limit
432
< Sebelum Sesudah >
Untuk x mendekati harga tertentu dapat ditentukan nilai pendekatan dari f(x) yang merupakan limit (nilai Batas) dari f(x) tersebut.
CONTOH :
Untuk x mendekati tak berhingga, maka f(a) = 2/x akhirnya akan mendekati 0.
ditulis : l i m 2 = 0
x x
Hasil yang harus dihindari
0/0 ; / ; - ; 0, (*) (bentuk tak tentu)
TEOREMA
1. Jika f(x) = c maka l i m f(x) = c
x a
2. Jika l i m f(x) = F dan l i m g(x) = G maka berlaku
x a x a
a. l i m [f(x) g(x)] = l i m f(x) l i m g(x) = F ± G
x a x a x a
b. l i m [f(x) • g(x)] = l i m f(x) • l i m g(x) = F • G
x a x a x a
c. l i m k • f(x) = k l i m f(x) = k • F
x a x a
l i m f(x)
d. l i m f(x) = x a = F
x a g(x) l i m g(x) G
x a
LANGKAH MENCARI LIMIT SUATU FUNGSI
1. Harga yang didekati disubstitusikan ke fangsi yang dimaksud.
Bila bukan (*) maka itulah nilai limitnya.
2. Bila (*) maka usahakan diuraikan.
Pada fungsi pecahan, faktor yang sama pada pembilang dan penyebut (penyebab bentuk (*)) dicoret. Pencoretan im boleh dilakukan, karena x hanya mardekati harga yang diberikan. Kemudian baru harga yang didekati disubstitusikan. Dalam konteks limit perhatikan hasil pembagian berikut :
0/a = 0 ; a/0 = ; /a = ; a/ = 0 ; ± a =konstanta)
Limit Fungsi Trigonometri
Matematika Kelas 3 > Limit
433
< Sebelum Sesudah >
KETENTUAN
Untuk x <<< ( x 0 ) maka sin x x
(x <<< kecil sekali ; setara )
l i m sin x = 1 l i m tg x = 1
x 0 x x 0 x
l i m x = 1 l i m x = 1
x 0 sin x x 0 tg x
PERLUASAN
l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x 0 bx x 0 bx
l i m ax = a/b l i m ax = a/b
x 0 sin bx x 0 tg bx
l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x 0 sin bx x 0 tg bx
l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x 0 tg bx x 0 sin bx
Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi:
cos x = sin (90° - x)
ctg x = tg (90° - x)
sin ax = 2 sin ½ax cos ½ax
cos ax = 1- 2 sin² ½ax
cos²x = 1 - sin²x
HAL-HAL KHUSUS
l i m axm + bxm-1 + .... =
x pxn + qxn-1 + ... untuk m > n ;
a/p untuk m =n ;
0 untuk m < n
l i m ax2 + bx + c - dx2 + ex + f
x untuk a > d ;
b-e untuk m =n ;
2a
- untuk a < d
Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar.
DALIL L'HOSPITAL
Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a
dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = maka
l i m f(x) = l i m f(x)
x g(x) x a g(x)
CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR
1. l i m x2 - 5x + 6 = (3)2 - 5(3) + 6 = 0
x 3
2. l i m 3x - 2 = (*) Uraikan
x 2x + 1
x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3
x(2 - 1/x) 2 + 1/x 2 - 0 2
atau langsung gunakan hal khusus
3. l i m x2 - x - 1 = (*) Uraikan
x 10x + 9
x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x = - 1 - 0 = =
x(10 - 9/x) 10 + 9/x 10 + 0 10
atau langsung gunakan hal khusus
4. l i m x2 - 3x + 2 = 0 (*) Uraikan
x 2 x2 - 5x + 6 0
(x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1
(x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3
atau langsung gunakan hal khusus Differensial
5. l i m x3 - 3x2 + 3x - 1 = 0 (*) Uraikan
x 1 x2 - 5x + 6 0
(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6
atau langsung gunakan hal khusus Differensial
6. l i m 2 + x - 2x = 0 (*) Hilangkan tanda akar dengan
x 2 x - 2 0 mengalikan bentuk sekawan
(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6
atau langsung gunakan hal khusus Differensial
7. l i m (3x - 9x2 + 4x) = - (*) Hilangkan tanda akar
x
l i m (3x - 9x2 + 4x ) = 3x - 9x2 + 4x = (*) Hilangkan tanda
x 3x - 9x2 + 4x akar
l i m (9x2 - (9x2 + 4x) = l i m -4x =
x 3x + (9x2 + 4x) x 3x + 3x [1+(a/9x)]
l i m -4 = -4 = -2
x 3 + 3(1 + 0) 6 3
atau langsung gunakan hal khusus
CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
1. l i m sin 2x = 0 (*)
x 0 tg 3x 0
sin 2x = 3x 2 = 1 . 1 . 2 = 2
2x tg 3x 3 3 3
2. l i m 1 - cos 2x = 0
x 0 sin 2x 0
1 - (1 - 2 sin² 2x) = 2 sin² x = sin x = tg x = 0
2 sin x cos x 2 sin x cos cos x
3. l i m 1 - cos x = 0
x 0 3x² 0
2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1
3 . 4 . (½x) 6 (½x) (½x) 6 6
atau langsung gunakan hal khusus Differensial
4. l i m sin x - sin a = 0 (*)
x 0 x - a 0
2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) =
x - a ½ (x - a )
cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a
atau langsung gunakan hal khusus Differensial
Logika matematika
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari
Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori model, teori rekursi, teori pembuktian, serta matematika konstruktif. Bidang-bidang ini memiliki hasil dasar logika yang serupa.
Algebra
Applied Mathematics
Calculus and Analysis
Discrete Mathematics
Foundations of Mathematics
Geometry
History and Terminology
Number Theory
Probability and Statistics
Recreational Mathematics
Topology
Alphabetical Index
Interactive Entries
Random Entry
New in MathWorld
MathWorld Classroom
About MathWorld
Contribute to MathWorld
Send a Message to the Team
MathWorld Book
12,957 entries
Last updated: Sat Jun 13 2009
Geometry > Trigonometry > General Trigonometry >
History and Terminology > Mnemonics >
Interactive Entries > Interactive Demonstrations >
Trigonometry
The study of angles and of the angular relationships of planar and three-dimensional figures is known as trigonometry. The trigonometric functions (also called the circular functions) comprising trigonometry are the cosecant , cosine , cotangent , secant , sine , and tangent . The inverses of these functions are denoted , , , , , and . Note that the notation here means inverse function, not to the power.
The trigonometric functions are most simply defined using the unit circle. Let be an angle measured counterclockwise from the x-axis along an arc of the circle. Then is the horizontal coordinate of the arc endpoint, and is the vertical component. The ratio is defined as . As a result of this definition, the trigonometric functions are periodic with period , so
(1)
where is an integer and func is a trigonometric function.
A right triangle has three sides, which can be uniquely identified as the hypotenuse, adjacent to a given angle , or opposite . A helpful mnemonic for remembering the definitions of the trigonometric functions is then given by "oh, ah, o-a," "Soh, Cah, Toa," or "SOHCAHTOA", i.e., sine equals opposite over hypotenuse, cosine equals adjacent over hypotenuse, and tangent equals opposite over adjacent,
(2)
(3)
(4)
Another mnemonic probably more common in Great Britain than the United States is "Tommy On A Ship Of His Caught A Herring."
From the Pythagorean theorem,
(5)
It is therefore also true that
(6)
and
(7)
The trigonometric functions can be defined algebraically in terms of complex exponentials (i.e., using the Euler formula) as
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
Hybrid trigonometric product/sum formulas are
(19)
(20)
(21)
(22)
Osborne's rule gives a prescription for converting trigonometric identities to analogous identities for hyperbolic functions.
For imaginary arguments,
(23)
(24)
For complex arguments,
(25)
(26)
For the absolute square of complex arguments ,
(27)
(28)
The complex modulus also satisfies the curious identity
(29)
The only functions satisfying identities of this form,
(30)
are , , and (Robinson 1957).
SEE ALSO: Cosecant, Cosine, Cotangent, Double-Angle Formulas, Euclidean Number, Half-Angle Formulas, Inverse Cosecant, Inverse Cosine, Inverse Cotangent, Inverse Secant, Inverse Sine, Inverse Tangent, Inverse Trigonometric Functions, Multiple-Angle Formulas, Osborne's Rule, Polygon, Prosthaphaeresis Formulas, Secant, Sine, SOHCAHTOA, Tangent, Trigonometric Addition Formulas, Trigonometry Angles, Trigonometric Functions, Trigonometric Power Formulas, Trigonometric Series Formulas, Werner Formulas
REFERENCES:
Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Circular Functions." §4.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 71-79, 1972.
Bahm, L. B. The New Trigonometry on Your Own. Patterson, NJ: Littlefield, Adams & Co., 1964.
Beyer, W. H. "Trigonometry." CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 134-152, 1987.
Borchardt, W. G. and Perrott, A. D. A New Trigonometry for Schools. London: G. Bell, 1930.
Dixon, R. "The Story of Sine and Cosine." §4.4 in Mathographics. New York: Dover, pp. 102-106, 1991.
Hobson, E. W. A Treatise on Plane Trigonometry. London: Cambridge University Press, 1925.
Kells, L. M.; Kern, W. F.; and Bland, J. R. Plane and Spherical Trigonometry. New York: McGraw-Hill, 1940.
Maor, E. Trigonometric Delights. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1998.
Morrill, W. K. Plane Trigonometry, rev. ed. Dubuque, IA: Wm. C. Brown, 1964.
Robinson, R. M. "A Curious Mathematical Identity." Amer. Math. Monthly 64, 83-85, 1957.
Siddons, A. W. and Hughes, R. T. Trigonometry, Part I. London: Cambridge University Press, 1929a.
Siddons, A. W. and Hughes, R. T. Trigonometry, Part II. London: Cambridge University Press, 1929b.
Siddons, A. W. and Hughes, R. T. Trigonometry, Part III. London: Cambridge University Press, 1929c.
Siddons, A. W. and Hughes, R. T. Trigonometry, Part IV. London: Cambridge University Press, 1929d.
Sloane, N. J. A. Sequence A003401/M0505 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."
Thompson, J. E. Trigonometry for the Practical Man. Princeton, NJ: Van Nostrand, 1946.
Yates, R. C. "Trigonometric Functions." A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 225-232, 1952.
Weisstein, E. W. "Books about Trigonometry." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/Trigonometry.html.
Zill, D. G. and Dewar, J. M. Trigonometry, 2nd ed. New York: McGraw-Hill 1990.
CITE THIS AS:
Weisstein, Eric W. "Trigonometry." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Trigonometry.html
Contact the MathWorld Team
© 1999-2009 Wolfram Research, Inc. | Terms of Use
Trigonometry in the
Cofunction Identities for Sine and Cosine
Get your own MathWorld T-shirt »
Other Wolfram Web Resources »
Wolfram Research
Mathematica Home Page
Mathematica Documentation Center
Wolfram Demonstrations Project
Online Integrator
Functions Site
Wolfram Tones
Wolfram Science
Wolfram Blog
more…
N
egasi atau ingkaran mirip seperti lawan kata dalam bahasa Indonesia, tapi lebih ditujukan untuk kalimat. Jadi negasi adalah pengingkaran kalimat atau lawan dari sebuah kalimat. Ini tidak diajarkan dalam pelajaran Bahasa, tapi di Logika Matematika. Tidak mengada2 dan bukan tanpa landasan teori.
Untuk menentukan negasi dari kalimat, ada 2 hal yang harus dipenuhi.
Pertama struktur kalimat. Antara kalimat semula dengan negasinya harus menunjukkan perlawanan.
Kedua, benar salahnya juga harus berlawanan. Jika kalimat semula bernilai benar, maka negasinya harus bernilai salah. Demikian sebaliknya.
Atas dasar itu, maka dalam menentukan negasi, kita ndak bisa hanya mengandalkan lawan kata. Kalau dalam bahasa Indonesia, naik lawannya turun. Dalam matematika, itu salah. Naik lawannya tidak naik!.
Sepintas tampaknya sama, tapi itu sangat beda.
Kenapa?. Karena dalam matematika, jawaban harus lengkap.
Lawannya naik ndak cuma turun, tapi datar juga iya. Bukankah datar itu juga tidak naik?. Lagi pula, kalau hanya mengandalkan lawan kata, kita akan kesulitan sendiri, karena banyak kata yang ndak punya lawan kata. Besar lawannya kecil, jauh lawannya dekat, tua lawannya muda. Lha kalau “jatuh”. Apa lawan katanya?. Biru, apa pula lawan katanya?.
Di Matematika kita ndak akan kesulitan. Besar lawannya tidak besar, tua lawannya tidak tua, jatuh lawannya ndak jatuh, biru lawannya ya tidak biru!.
Gampang kan?. Cukup nambah “tidak”.
Tapi kalau nggak teliti, kita bisa nyasar juga.
Contoh dalam kalimat:
Badan Andi kurus >< Badan Andi tidak kurus (bisa gemuk, bisa pas2an)
Jangan sampai keliru “Badan Andi gemuk”, karena tidak lengkap. Bukankah badan pas2an juga nggak kurus?.
Prinsip matematika itu benar dan salah, tidak kenal yang namanya kurang sedikit atau lebih sedikit.
5 + 3 itu bukan 7,9999 bukan pula 8,0001. Pantang ada jawaban tak lengkap, anti jawaban berlebihan.
Contoh lain:
Ada orang berkacamata >< Tidak ada orang berkacamata
Bagaimana jika dijawab “Ada orang tidak berkacamata”.
Lagi2 sepintas tampak betul, tapi itu salah.
Kenapa salah?.
Secara bahasa memang sudah menunjukkan perlawanan, tapi dari sisi kebenaran, belum menunjukkan perlawanan. Ada orang berkacamata, kalimat itu benar, karena memang ada orang yg berkacamata. Ada orang tidak berkacamata, kalimat ini benar juga, karena kita tau, memang ada orang yg nggak pakai kacamata. Negasi kalimat bernilai benar harus bernilai salah. Maka negasi yang tepat adalah “Tidak ada orang berkacamata”.
Menentukan negasi dilakukan dengan menambah kata “tidak” di tempat yang tepat, atau menghilangkannya jika kalimatnya sudah memuat kata “tidak”. Jangan asal taruh!.
Ingat, negasi bukanlah lawan kata.
Jangan sampai negasi dari “Ibu Kartini pahlawan wanita Indonesia” ditulis “Bapak Kartono penjahat pria Israel”…
Logika disjungsi
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari
Dalam logika dan bidang teknik yang memakainya, disjungsi, atau atau, adalah operator logika dalam kalkulus proposisional. Hasil dari dua proposisi juga disebut disjungsi mereka. Hasil disjungsi adalah salah jika kedua proposisinya salah; jika tidak, hasilnya adalah benar.
Artikel mengenai logika ini adalah suatu tulisan rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia mengembangkannya.
Konjungsi adalah peristiwa yang terjadi saat jarak sudut (elongasi) suatu benda dengan benda lainnya sama dengan nol derajat.
Dalam pendekatan astronomi, konjungsi merupakan peristiwa saat matahari dan bulan berada segaris di bidang ekliptika yang sama. Pada saat tertentu, konjungsi ini dapat menyebabkan terjadinya gerhana matahari.
Tulisan rintisan ini belum dikategorikan, tapi Anda dapat membantu Wikipedia mengembangkannya.
DIMENSI TIGA
DEFINISI, AKSIOMA DAN DALIL
Pengertian tentang Definisi, Aksioma dan Dalil :
1. Sifat-sifat yang dikemukakan untuk memperkenalkan nama sesuatu dalam pembicaraan tentang geometri disebut Definisi /Batasan.
2. Aksioma adalah pendapat yang dijadikan pedoman dasar dan merupakan Dalil Pemula, sehingga kebenarannya tidak perlu dibuktikan lagi, atau Aksioma yaitu suatu pernyataan yang diterima sebagai kebenaran dan bersifat umum, tanpa memerlukan pembuktian.Beberapa aksioma yang diperlukan dalam geometri ruang dikemukakan oleh EUKLIDES.
3. Dalil, (kaidah atau teorema) adalah kebenaran yang diturunkan dari aksioma, sehingga kebenarannya perlu dibuktikan terlebih dahulu.
AKSIOMA-AKSIOMA :
1. Melalui dua titik sembarang hanya dapat dibuat sebuah garis lurus.
2. Jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua titik persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang.
3. Melalui tiga buah titik sembarang hanya dapat dibuat sebuah bidang.
4. Melalui sebuah titik yang berada di luar sebuah garis tertentu, hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejAjar dengan garis tertentu tersebut.
DALIL-DALIL :
A. Dalil untuk menentukan bidang :
1. Sebuah bidang ditemukan oleh tiga titik sembarang.
2. Sebuah bidang ditentukan oleh sebuah garis dan sebuah titik(titik berada diluar garis).
3. Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis berpotongan.
4. Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis sejajar.
B. Dalil Tentang Dua Garis Sejajar:
5. garis k // garis l
garis l // garis m
–––––––––––––––
garis k // garis m
6. garis k // garis h dan garis k memotong garis g
garis l // garis h dan garis l memotong garis g
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
garis k, garis l, dan garis g terletak pada sebuah bidang
7. garis k // garis l
garis l menembus bidang
–––––––––––––––––––––––––
garis k menembus bidang
C. Dalil Tentang garis Sejajar Bidang
8. garis g // garis h
garis h terletak pada bidang
––––––––––––––––––––––––
garis g // bidang
9. bidang melalui garis g
garis g // bidang
–––––––––––––––––––––––––––
(bidang , bidang ) // garis g
10. garis g // garis h
garis h // bidang
–––––––––––––––––
garis g // bidang
11. bidang dan bidang berpotongan
bidang // garis g
bidang // garis g
–––––––––––––––––––––––––––
(bidang , bidang ) // garis g
D. Dalil tentang Dua Bidang Sejajar:
12. garis a // garis g
garis b // garis h
a dan b berpotongan pada bidang
g dan h berpotongan pada bidang
––––––––––––––––––––––––––––
bidang // bidang
13. bidang // bidang
bidang memotong bidang dan bidang
–––––––––––––––––––––––––––––––––––
(, ) // (, )
14. garis g menembus bidang
bidang // bidang
––––––––––––––––––––––––
garis g menembus bidang
15. garis g // bidang
bidang // bidang
–––––––––––––––––
garis g // bidang
16. garis g terletak pada bidang
bidang // bidang
–––––––––––––––––
garis g // bidang
17. bidang // bidang
bidang memotong bidang
–––––––––––––––––––––––––––––
bidang juga memotong bidang
DIarsipkan di bawah: MatematikaQ
onjunction (konjungsi)
Konjungsi digunakan untuk menyatakan kalimat yang menggunakan kata “dan”. Konjungsi disimbolkan dengan Λ. Contoh penulisannya adalah p Λ q (dibaca p dan q). Misalnya : Anda sedang duduk dan membaca.
Disjunction (disjungsi)
Disjungsi digunakan untuk menyatakan kalimat yang menggunakan kata “atau”. Disjungsi disimbolkan dengan ν. Contoh penulisannya adalah p ν q (dibaca p atau q). Misalnya : Anda sedang duduk atau membaca.
Implication (implikasi)
Implikasi digunakan untuk menyatakan kalimat dalam bentuk jika - maka -. Implikasi disimbolkan dengan →. Contoh penulisannya adalah p → q (dibaca jika p maka q). Misalnya : Jika Anda sedang duduk maka Anda membaca.
Biimplication (biimplikasi)
Biimplikasi digunakan untuk menyatakan kalimat dalam bentuk - jika dan hanya jika -. Biimplikasi disimbolkan dengan ↔. Contoh penulisannya adalah p ↔ q (dibaca p jika dan hanya jika q). Misalnya : Anda sedang duduk jika dan hanya jika membaca.
Premis I: Namanya Roque Santa Cruz.
Premis II: mencetak gol saat mendekati natal.
Kesimpulan: Selebrasi gol: Menjadi Santa Klaus.
Premis I: Namanya Joey Barton
Premis II: Tidak bisa bermain kalau tidak kasar.
Kesimpulan: Leher lawan coba dipatahkan.
Premis I: Didier Drogba cidera.
Premis II: Mendapat tempat utama dan berhasil mencetak gol.
Kesimpulan: Selebrasi gol: Meloncat setinggi-tingginya.
Komentar