mekanika fisika
In classical mechanics, moment of inertia, also called mass moment of inertia, rotational inertia, polar moment of inertia of mass, or the angular mass, (SI units kg•m²) is a measure of an object's resistance to changes to its rotation. It is the inertia of a rotating body with respect to its rotation. The moment of inertia plays much the same role in rotational dynamics as mass does in linear dynamics, describing the relationship between angular momentum and angular velocity, torque and angular acceleration, and several other quantities. The symbol I and sometimes J are usually used to refer to the moment of inertia or polar moment of inertia.
While a simple scalar treatment of the moment of inertia suffices for many situations, a more advanced tensor treatment allows the analysis of such complicated systems as spinning tops and gyroscopic motion.
The concept was introduced by Leonhard Euler in his book Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum in 1765.[1] In this book, he discussed the moment of inertia and many related concepts, such as the principal axis of inertia.
Moment of inertia is the name given to rotational inertia, the rotational analog of mass for linear motion. It appears in the relationships for the dynamics of rotational motion. The moment of inertia must be specified with respect to a chosen axis of rotation. For a point mass the moment of inertia is just the mass times the square of perpendicular distance to the rotation axis, I = mr2. That point mass relationship becomes the basis for all other moments of inertia since any object can be built up from a collection of point masses.
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/mi.html
This article is about the moment of inertia of a rotating object. For the moment of inertia dealing with the bending of a beam, see second moment of area.
In classical mechanics, moment of inertia, also called mass moment of inertia, rotational inertia, polar moment of inertia of mass, or the angular mass, (SI units kg•m²) is a measure of an object's resistance to changes to its rotation. It is the inertia of a rotating body with respect to its rotation. The moment of inertia plays much the same role in rotational dynamics as mass does in linear dynamics, describing the relationship between angular momentum and angular velocity, torque and angular acceleration, and several other quantities. The symbol I and sometimes J are usually used to refer to the moment of inertia or polar moment of inertia.
While a simple scalar treatment of the moment of inertia suffices for many situations, a more advanced tensor treatment allows the analysis of such complicated systems as spinning tops and gyroscopic motion.
The concept was introduced by Leonhard Euler in his book Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum in 1765.[1] In this book, he discussed the moment of inertia and many related concepts, such as the principal axis of inertia.
The moment of inertia of an object about a given axis describes how difficult it is to change its angular motion about that axis. Therefore, it encompasses not just how much mass the object has overall, but how far each bit of mass is from the axis. The farther out the object's mass is, the more rotational inertia the object has, and the more force is required to change its rotation rate. For example, consider two hoops, A and B, made of the same material and of equal mass. Hoop A is larger in diameter but thinner than B. It requires more effort to accelerate hoop A (change its angular velocity) because its mass is distributed farther from its axis of rotation: mass that is farther out from that axis must, for a given angular velocity, move more quickly than mass closer in. So in this case, hoop A has a larger moment of inertia than hoop B.Divers reducing their moments of inertia to increase their rates of rotationThe moment of inertia of an object can change if its shape changes. A figure skater who begins a spin with arms outstretched provides a striking example. By pulling in her arms, she reduces her moment of inertia, causing her to spin faster (by the conservation of angular momentum).
The moment of inertia has two forms, a scalar form, I, (used when the axis of rotation is specified) and a more general tensor form that does not require the axis of rotation to be specified. The scalar moment of inertia, I, (often called simply the "moment of inertia") allows a succinct analysis of many simple problems in rotational dynamics, such as objects rolling down inclines and the behavior of pulleys. For instance, while a block of any shape will slide down a frictionless decline at the same rate, rolling objects may descend at different rates, depending on their moments of inertia. A hoop will descend more slowly than a solid disk of equal mass and radius because more of its mass is located far from the axis of rotation, and thus needs to move faster if the hoop rolls at the same angular velocity. However, for (more complicated) problems in which the axis of rotation can change, the scalar treatment is inadequate, and the tensor treatment must be used (although shortcuts are possible in special situations). Examples requiring such a treatment include gyroscopes, tops, and even satellites, all objects whose alignment can change.
The moment of inertia is also called the mass moment of inertia (especially by mechanical engineers) to avoid confusion with the second moment of area, which is sometimes called the moment of inertia (especially by structural engineers). The easiest way to differentiate these quantities is through their units (kg•m² as opposed to m4). In addition, moment of inertia should not be confused with polar moment of inertia (more specifically, polar moment of inertia of area), which is a measure of an object's ability to resist torsion (twisting) only, although, mathematically, they are similar: if the solid for which the moment of inertia is being calculated has uniform thickness in the direction of the rotating axis, and also has uniform mass density, the difference between the two types of moments of inertia is a factor of mass per unit area.http://en.wikipedia.org/wiki/Moment_of_inertia
Dalam mekanika klasik , momen inersia, juga disebut massa momen inersia, inersia rotasi, momen kutub inersia massa, atau massa sudut, ( SI unit kg • m²) adalah ukuran objek perlawanan untuk perubahan kepada para rotasi . It is the inertia of a rotating body with respect to its rotation. Ini adalah inersia dari suatu benda berputar sehubungan dengan rotasi. The moment of inertia plays much the same role in rotational dynamics as mass does in linear dynamics, describing the relationship between angular momentum and angular velocity , torque and angular acceleration , and several other quantities. Momen inersia banyak memainkan peran yang sama dalam dinamika rotasi sebagai massa tidak dalam dinamika linier, menggambarkan hubungan antara momentum sudut dan kecepatan sudut , torsi dan percepatan sudut , dan kuantitas lainnya. The symbol I and sometimes J are usually used to refer to the moment of inertia or polar moment of inertia. simbol I dan kadang-kadang J biasanya digunakan untuk merujuk pada momen inersia atau momen inersia polar.
While a simple scalar treatment of the moment of inertia suffices for many situations, a more advanced tensor treatment allows the analysis of such complicated systems as spinning tops and gyroscopic motion. Sementara sederhana skalar perlakuan momen inersia sudah cukup untuk berbagai situasi, yang lebih canggih tensor pengobatan memungkinkan analisis sistem rumit seperti spinning tops dan gyroscopic gerak.
The concept was introduced by Leonhard Euler in his book Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum in 1765. [ 1 ] In this book, he discussed the moment of inertia and many related concepts, such as the principal axis of inertia. Konsep ini diperkenalkan oleh Leonhard Euler dalam bukunya corporum rigidorum Motus solidorum Seu Theoria pada 1765. [1] Dalam buku ini, ia membahas momen inersia dan konsep terkait, seperti sumbu utama inersia.
]
The moment of inertia of an object about a given axis describes how difficult it is to change its angular motion about that axis. Momen inersia dari suatu obyek pada sumbu tertentu menggambarkan betapa sulitnya untuk mengubah gerak angular tentang itu sumbu. Therefore, it encompasses not just how much mass the object has overall, but how far each bit of mass is from the axis. Oleh karena itu, meliputi bukan hanya berapa banyak massa objek telah secara keseluruhan, tetapi seberapa jauh setiap bit massa adalah dari sumbu. The farther out the object's mass is, the more rotational inertia the object has, and the more force is required to change its rotation rate. Semakin jauh dari massa objek adalah, inersia lebih rotasi objek memiliki, dan gaya lebih diperlukan untuk mengubah tingkat rotasi. For example, consider two hoops, A and B, made of the same material and of equal mass. Sebagai contoh, mempertimbangkan dua simpai, A dan B, terbuat dari bahan yang sama dan massa yang sama. Hoop A is larger in diameter but thinner than B. It requires more effort to accelerate hoop A (change its angular velocity) because its mass is distributed farther from its axis of rotation: mass that is farther out from that axis must, for a given angular velocity, move more quickly than mass closer in. So in this case, hoop A has a larger moment of inertia than hoop B. Hoop A berdiameter lebih besar tetapi lebih tipis daripada B. Hal ini membutuhkan lebih banyak usaha untuk mempercepat ring A (perubahan kecepatan angular) karena massa didistribusikan lebih jauh dari sumbu rotasi: massa yang jauh keluar dari sumbu harus, untuk diberikan kecepatan sudut, bergerak lebih cepat daripada massa lebih dekat masuk Jadi dalam hal ini, simpai A memiliki momen inersia lebih besar dari hoop B
Divers reducing their moments of inertia to increase their rates of rotation Divers mengurangi momen inersia mereka untuk meningkatkan tarif mereka rotasi
The moment of inertia of an object can change if its shape changes. Momen inersia suatu benda dapat berubah jika perubahan bentuk. A figure skater who begins a spin with arms outstretched provides a striking example. Seorang skater tokoh yang memulai spin dengan tangan terulur memberikan contoh yang mencolok. By pulling in her arms, she reduces her moment of inertia, causing her to spin faster (by the conservation of angular momentum ). Dengan menarik dalam pelukannya, ia mengurangi momen inersia, menyebabkan dia berputar lebih cepat (dengan konservasi momentum sudut ).
The moment of inertia has two forms, a scalar form, I , (used when the axis of rotation is specified) and a more general tensor form that does not require the axis of rotation to be specified. Momen inersia memiliki dua bentuk, suatu skalar bentuk, I, (digunakan ketika sumbu rotasi khusus) dan yang lebih umum tensor bentuk yang tidak memerlukan sumbu rotasi harus ditentukan. The scalar moment of inertia, I , (often called simply the "moment of inertia") allows a succinct analysis of many simple problems in rotational dynamics , such as objects rolling down inclines and the behavior of pulleys. Skalar momen inersia, I, (sering disebut hanya merupakan "momen inersia") memungkinkan analisis ringkas masalah yang sederhana dalam dinamika rotasi , seperti objek bergulir di tanjakan dan perilaku puli. For instance, while a block of any shape will slide down a frictionless decline at the same rate, rolling objects may descend at different rates, depending on their moments of inertia. Sebagai contoh, sementara blok bentuk apapun akan geser ke bawah penurunan gesekan pada tingkat yang sama, rolling objek mungkin turun pada tingkat yang berbeda, tergantung pada saat mereka inersia. A hoop will descend more slowly than a solid disk of equal mass and radius because more of its mass is located far from the axis of rotation, and thus needs to move faster if the hoop rolls at the same angular velocity. hoop A akan turun lebih lambat dari disk solid massa yang sama dan jari-jari karena lebih massa yang terletak jauh dari sumbu rotasi, dan dengan demikian perlu bergerak lebih cepat jika gulungan lingkaran pada kecepatan sudut yang sama. However, for (more complicated) problems in which the axis of rotation can change, the scalar treatment is inadequate, and the tensor treatment must be used (although shortcuts are possible in special situations). Namun, untuk (lebih rumit) masalah di mana sumbu rotasi bisa berubah, pengobatan skalar tidak memadai, dan perlakuan tensor harus digunakan (meskipun pintas yang mungkin dalam situasi khusus). Examples requiring such a treatment include gyroscopes, tops, and even satellites, all objects whose alignment can change. Contoh yang membutuhkan perawatan semacam ini termasuk giroskop, atasan, dan bahkan satelit, semua benda yang penyelarasan bisa berubah.
The moment of inertia is also called the mass moment of inertia (especially by mechanical engineers) to avoid confusion with the second moment of area , which is sometimes called the moment of inertia (especially by structural engineers). Momen inersia juga disebut momen inersia massa (terutama oleh para insinyur mekanik) untuk menghindari kebingungan dengan momen kedua daerah , yang kadang-kadang disebut momen inersia (terutama oleh para insinyur struktur). The easiest way to differentiate these quantities is through their units (kg•m² as opposed to m 4 ). Cara termudah untuk membedakan jumlah ini adalah melalui mereka unit (kg m² • Sebagai lawan m 4). In addition, moment of inertia should not be confused with polar moment of inertia (more specifically, polar moment of inertia of area ), which is a measure of an object's ability to resist torsion (twisting) only, although, mathematically, they are similar: if the solid for which the moment of inertia is being calculated has uniform thickness in the direction of the rotating axis, and also has uniform mass density, the difference between the two types of moments of inertia is a factor of mass per unit area. Selain itu, momen inersia tidak harus bingung dengan momen kutub inersia (lebih khusus lagi, momen kutub inersia area), yang merupakan ukuran objek kemampuan untuk melawan torsi (memutar) saja, walaupun, matematis, mereka serupa : jika padat yang momen inersia sedang dihitung memiliki ketebalan yang seragam dalam arah sumbu berputar, dan juga memiliki massa jenis seragam, perbedaan antara kedua jenis momen inersia adalah faktor massa per satuan luas.
Consider a rigid body rotating with angular velocity ω around a certain axis. Pertimbangkan sebuah benda tegar berputar dengan kecepatan sudut ω sekitar sumbu tertentu. The body consists of N point masses m i whose distances to the rotation axis are denoted r i . Tubuh terdiri dari N m i massa titik yang jarak ke sumbu rotasi dinotasikan r i. Each point mass will have the speed v i = ωr i , so that the total kinetic energy T of the body can be calculated as Setiap massa titik akan memiliki laju v i = ωr i, sehingga total energi kinetik T tubuh dapat dihitung sebagai
In this expression the quantity in parentheses is called the moment of inertia of the body (with respect to the specified axis of rotation). Dalam ungkapan ini kuantitas dalam kurung disebut momen inersia dari tubuh (terhadap sumbu rotasi tertentu). It is a purely geometric characteristic of the object, as it depends only on its shape and the position of the rotation axis. Ini adalah murni karakteristik geometrik objek, karena hanya bergantung pada bentuk dan posisi sumbu rotasi. The moment of inertia is usually denoted with the capital letter I : Momen inersia biasanya dinotasikan dengan huruf kapital I:
It is worth emphasizing that r i here is the distance from a point towards the axis of rotation , not towards the origin. Perlu menekankan bahwa saya r di sini adalah jarak dari titik terhadap sumbu rotasi, bukan ke arah asal. As such, the moment of inertia will be different when considering rotations about different axes. Dengan demikian, momen inersia akan berbeda ketika mempertimbangkan rotasi tentang sumbu yang berbeda.
Similarly, the moment of inertia of a continuous solid body rotating about a known axis can be calculated by replacing the summation with the integral : Demikian pula, momen inersia dari suatu benda padat terus menerus berputar pada sumbu yang dikenal dapat dihitung dengan mengganti penjumlahan dengan integral :
where r is the radius vector of a point within the body, ρ ( r ) is the mass density at point r , and d ( r ) is the distance from point r to the axis of rotation. di mana r adalah vektor radius sebuah titik dalam tubuh, ρ (r) adalah massa kepadatan di titik r, dan d (r) adalah jarak dari titik r dengan sumbu rotasi. The integration goes over the volume V of the body. Integrasi berjalan di atas volume V tubuh.
[ edit ] Properties [ sunting ] Properties
The moment of inertia of the body is additive. Momen inersia tubuh adalah aditif. That is, if a body can be decomposed (either physically or conceptually) into several constituent parts, then the moment of inertia of the whole body about a given axis is equal to the sum of moments of inertia of each part around the same axis. [ 2 ] Artinya, jika tubuh dapat diuraikan (baik fisik maupun konseptual) ke dalam beberapa bagian-bagian penyusunnya, maka momen inersia dari seluruh tubuh pada sumbu yang diberikan adalah sama dengan jumlah momen inersia masing-masing bagian di sekitar sumbu yang sama. [2]
Basing just on the dimensional analysis , the moment of inertia must take the form I = c•M•L 2 , where M is the mass, L is the “size” of the body in the direction perpendicular to the axis of rotation, and c is a dimensionless inertial constant . Mendasarkan hanya pada analisis dimensional , momen inersia harus mengambil bentuk I = c • M • L 2, di mana M adalah massa, L adalah "ukuran" dari tubuh dalam arah tegak lurus terhadap sumbu rotasi, dan c adalah sebuah konstanta inersia berdimensi. Additionally, the length Selain itu, panjang is called the radius of gyration of the body. disebut jari-jari rotasi tubuh.
If I x , I y , I z are moments of inertia around three perpendicular axes passing through the body's center of mass, then each of them cannot be greater than the sum of two others: for example I z ≤ I x + I y . Jika saya x, aku y, aku z adalah momen inersia sekitar tiga sumbu tegak lurus melewati tubuh tengah massa, kemudian masing-masing dari mereka tidak dapat lebih besar daripada jumlah dua orang lain: misalnya saya z ≤ aku x + I y. Here the equality holds only if the body is flat and located in the Oxy coordinate plane. Di sini kesetaraan yang berlaku hanya jika tubuh adalah datar dan terletak di Oxy koordinat pesawat.
If the object's moment of inertia I around a certain axis passing through the center of mass is known, then the parallel axis theorem provides a convenient formula to compute the moment of inertia I d of the same body around a different axis, which is parallel to the original and located at a distance d from it. Jika objek saat inersia saya di sekitar sumbu tertentu yang melewati pusat massa diketahui, maka teorema sumbu sejajar memberikan formula yang nyaman untuk menghitung momen inersia I d tubuh yang sama di sekitar sumbu yang berbeda, yang sejajar dengan asli dan terletak pada jarak d dari itu. The formula states: Menyatakan rumus:
This formula is only suitable when the old and the new axes are parallel. rumus ini hanya cocok jika yang lama dan yang sumbu baru paralel. In order to compute the moment of inertia about an arbitrary axis, one has to use the object's moment of inertia tensor . Dalam rangka untuk menghitung momen inersia pada sumbu yang sewenang-wenang, kita harus menggunakan objek momen tensor inersia .
The rotational kinetic energy of a rigid body with angular velocity ω (in radians per second) is expressed in terms of the object's moment of inertia: The rotasi energi kinetik dari sebuah benda tegar dengan kecepatan sudut ω (dalam radian per detik) dinyatakan dalam hal objek saat inersia:
This formula is similar to the translational kinetic energy K = ½ mv 2 . Formula ini mirip dengan energi kinetik translasi K = ½ mv 2. Thus, the moment of inertia I plays the role of mass in the rotational dynamics. Dengan demikian, momen inersia saya memainkan peran massa dalam dinamika rotasi. One key difference between the mass and the (scalar) moment of inertia is that the latter depends on the axis rotation and so is not truly invariant. Satu perbedaan kunci antara massa dan saat ini (skalar) dari inersia adalah bahwa yang terakhir tergantung pada putaran poros dan karenanya tidak benar-benar invarian. The invariant characteristic of the body in rotational motion is the tensor of moment of inertia I , defined later. Karakteristik invarian dari tubuh dalam gerak rotasi adalah tensor momen inersia I, ditentukan kemudian.
The angular momentum of the body rotating around one of its principal axis is also proportional to the moment of inertia: The momentum sudut tubuh berputar di sekitar salah satu sumbu utamanya juga sebanding dengan momen inersia:
This expression is parallel to the formula for translational momentum p = mv , where the moment of inertia I plays the role of mass m , and the angular velocity ω stands for the speed v . Ungkapan ini sejajar dengan rumus untuk translasi momentum p = mv, dimana momen inersia saya memainkan peran massa m, dan kecepatan sudut ω singkatan dari v kecepatan. The scalar formula is valid only for rotations around one of the principal axes of the body, and does not hold in other cases of interest, such as the torque-free precession of a rotating object. Rumus skalar hanya berlaku untuk rotasi di sekitar salah satu sumbu utama tubuh, dan tidak tahan dalam kasus-kasus lain yang menarik, seperti bebas torsi presesi dari objek berputar. The equivalent formula involving the tensor moment of inertia is always correct. Rumus setara melibatkan momen tensor inersia selalu benar.
Also when the body rotates around one of its principal axes, and the direction of the axis of rotation remains constant, one can relate the torque on an object and its angular acceleration in a similar equation: Juga ketika tubuh berputar di sekitar salah satu sumbu pokok, dan arah dari sumbu rotasi tetap konstan, seseorang dapat mengaitkan torsi pada objek serta percepatan sudut dalam suatu persamaan yang sama:
where τ is the torque and α is the angular acceleration . di mana τ adalah torsi dan α adalah percepatan sudut .
[ edit ] Examples [ sunting ] Contoh
Main article: List of moments of inertia Artikel utama: Daftar momen inersia
Diatomic molecule , with atoms m 1 and m 2 at a distance d from each other, rotating around the axis which passes through the molecule's center of mass and is perpendicular to the direction of the molecule. Diatomik molekul, dengan atom m 1 dan m 2 pada jarak d dari satu sama lain, berputar di sekitar sumbu yang melalui molekul pusat massa dan tegak lurus terhadap arah molekul.
The easiest way to calculate this molecule's moment of inertia is to use the parallel axis theorem . Cara termudah untuk menghitung molekul saat ini inersia adalah dengan menggunakan teorema sumbu sejajar . If we consider rotation around the axis passing through the atom m 1 , then the moment of inertia will be I 1 = m 1 •0 + m 2 • d 2 = m 2 d 2 . Jika kita mempertimbangkan rotasi sekeliling sumbu melewati m atom 1, maka momen inersia akan Aku 1 m = 1 • 0 + m 2 • d 2 = m 2 d 2. On the other hand, by the parallel axis theorem this moment is equal to I 1 = I + ( m 1 + m 2 )• a 2 , where I is the moment of inertia around the axis passing through the center of mass, and a is the distance between the center of mass and the first atom. Di sisi lain, dengan teorema sumbu sejajar saat ini sama dengan I 1 = I + (m 1 + m 2) • sebuah 2, dimana I adalah momen inersia sekitar sumbu yang melewati pusat massa, dan adalah jarak antara pusat massa dan atom pertama. By the center of mass formula, this distance is equal to a = m 2 d / ( m 1 + m 2 ) . Dengan pusat massa formula, jarak ini sama dengan m = 2 d / (m 1 + m 2). Thus, Dengan demikian,
Thin rod of mass m and length ℓ , rotating around the axis which passes through its center and is perpendicular to the rod. Tipis batang dengan massa m dan panjang ℓ, berputar di sekitar sumbu yang melalui pusatnya dan tegak lurus terhadap batang.
Let Oz be the axis of rotation, and Ox the axis along the rod. Biarkan Oz menjadi sumbu rotasi, dan Ox sumbu sepanjang batang. If ρ is the density, and s the cross-section of the rod (so that m = ρℓs ), then the volume element for the integral formula will be equal to d V = s •d x , where x changes from −½ ℓ to ½ ℓ . Jika ρ adalah densitas, dan s penampang batang (jadi m yang = ρ ℓ s), maka elemen volume rumus integral akan sama dengan d V = S • d x, dimana x perubahan dari - ½ ℓ untuk ½ ℓ. The moment of inertia can be found by computing the integral: Momen inersia dapat ditemukan dengan menghitung integral:
Solid ball of mass m and radius R , rotating around an axis which passes through the center. Solid bola dengan massa m dan jari-jari R, berputar di sekitar sumbu yang melewati pusat.
Suppose Oz is the axis of rotation. Misalkan Oz adalah sumbu rotasi. The distance from point r = ( x,y,z ) towards the axis Oz is equal to d ( r ) 2 = x 2 + y 2 . Jarak dari titik r = (x, y, z) terhadap sumbu Oz sama dengan d (r) 2 = x 2 + y 2. Thus, in order to compute the moment of inertia I z , we need to evaluate the integral ∭( x 2 + y 2 ) d V . Dengan demikian, dalam rangka untuk menghitung momen inersia I z, kita perlu mengevaluasi ∭ integral (x 2 + 2 y) d V. The calculation considerably simplifies if we notice that by symmetry of the problem, the moments of inertia around all axes are equal: I x = I y = I z . Perhitungan jauh menyederhanakan jika kita melihat bahwa dengan simetri dari masalah, momen inersia sekitar semua sumbu adalah sama: Aku x = aku y = I z. Then Kemudian
where r 2 = x 2 + y 2 + z 2 is the distance from point r to the origin. di mana r 2 = x 2 + y 2 + z 2 adalah jarak dari titik ke titik r asal. This integral is easy to evaluate in the spherical coordinates , the volume element will be equal to d V = 4 πr 2 d r , where r goes from 0 to R . Integral ini mudah untuk mengevaluasi dalam koordinat bola , elemen volume akan sama dengan d V = 4 πr 2 d r, dimana r pergi dari 0 sampai R. Thus, Dengan demikian,
[ edit ] Moment of inertia tensor [ sunting ] Momen inersia tensor
In three dimensions, if the axis of rotation is not given, we need to be able to generalize the scalar moment of inertia to a quantity that allows us to compute a moment of inertia about arbitrary axes. Dalam tiga dimensi, jika sumbu rotasi tidak diberikan, kita harus mampu untuk menggeneralisasi skalar momen inersia ke kuantitas yang memungkinkan kita untuk menghitung momen inersia sumbu sewenang-wenang. This quantity is known as the moment of inertia tensor and can be represented as a symmetric positive semi-definite matrix, I . Kuantitas ini dikenal sebagai momen inersia tensor dan dapat direpresentasikan sebagai semi-simetris definit positif matriks, aku. This representation elegantly generalizes the scalar case: The angular momentum vector, is related to the rotation velocity vector, ω by Representasi ini elegan generalizes kasus skalar: Vektor momentum sudut, berkaitan dengan vektor kecepatan rotasi, ω oleh
and the kinetic energy is given by dan energi kinetik diberikan oleh
as compared with dibandingkan dengan
in the scalar case. dalam kasus skalar.
Like the scalar moment of inertia, the moment of inertia tensor may be calculated with respect to any point in space, but for practical purposes, the center of mass is almost always used. Seperti skalar momen inersia, momen inersia tensor dapat dihitung sehubungan dengan setiap titik dalam ruang, tetapi untuk tujuan praktis, pusat massa hampir selalu digunakan.
[ edit ] Definition [ sunting ] Definisi
For a rigid object of N point masses m k , the moment of inertia tensor has components given by Untuk objek yang kaku titik massa m k N, momen inersia tensor memiliki komponen yang diberikan oleh
, ,
where mana
and I 12 = I 21 , I 13 = I 31 , and I 23 = I 32 . dan saya 12 = aku 21, aku 13 = I 31, dan saya 23 = I 32. (Thus I is a symmetric tensor.) Note that the scalars I i j with (Jadi saya adalah tensor simetris.) Perhatikan bahwa skalar saya i j dengan are called the products of inertia . disebut produk inersia.
Here I x x denotes the moment of inertia around the x -axis when the objects are rotated around the x-axis, I x y denotes the moment of inertia around the y -axis when the objects are rotated around the x -axis, and so on. Di sini saya x x menunjukkan momen inersia sekitar sumbu x-ketika objek yang berputar di sekitar sumbu x-, aku x y menunjukkan momen inersia sekitar sumbu y ketika objek yang berputar di sekitar sumbu x-, dan sebagainya.
These quantities can be generalized to an object with distributed mass, described by a mass density function, in a similar fashion to the scalar moment of inertia. Jumlah ini dapat digeneralisasi untuk sebuah objek dengan massa yang terdistribusi, yang digambarkan oleh suatu fungsi kepadatan massa, dengan cara yang sama dengan momen inersia skalar. One then has Satu kemudian memiliki
In more-concise notation: Dalam notasi yang lebih singkat:
where mana is the vector from the center of mass to a point in the volume, V and adalah vektor dari pusat massa pada suatu titik volume, V dan is their outer product , E 3 is the 3 × 3 identity matrix , and V is a region of space completely containing the object. adalah mereka produk luar , E 3 adalah 3 × 3 matriks identitas , dan V adalah wilayah ruang sepenuhnya berisi objek. Alternatively, the above can be described in indicial notation as: Atau, di atas dapat digambarkan dalam notasi indicial sebagai:
The diagonal elements of I are called the principal moments of inertia . Unsur-unsur diagonal I disebut momen inersia utama.
[ edit ] Derivation of the tensor components [ sunting ] Penurunan komponen tensor
The distance r of a particle at R jarak partikel di from the axis of rotation passing through the origin in the dari sumbu rotasi melewati asal di direction is Arah . . By using the formula I = m r 2 (and some simple vector algebra) it can be seen that the moment of inertia of this particle (about the axis of rotation passing through the origin in the Dengan menggunakan rumus I = m r 2 (dan beberapa aljabar vektor sederhana) dapat dilihat bahwa momen inersia partikel ini (sekitar sumbu rotasi melewati asal dalam direction) is arah) adalah This is a quadratic form in Ini adalah bentuk kuadrat di and, after a bit more algebra, this leads to a tensor formula for the moment of inertia dan, setelah aljabar sedikit lebih, ini mengarah pada formula tensor untuk momen inersia
. .
\This is exactly the formula given below for the moment of inertia in the case of a single particle. Inilah rumus yang diberikan di bawah ini untuk momen inersia dalam kasus partikel tunggal. For multiple particles we need only recall that the moment of inertia is additive in order to see that this formula is correct. Untuk partikel beberapa kita hanya perlu ingat bahwa momen inersia adalah aditif untuk melihat bahwa formula ini benar.
[ edit ] Reduction to scalar [ sunting ] Reduksi ke skalar
For any axis Untuk setiap sumbu , represented as a column vector with elements n i , the scalar form I can be calculated from the tensor form I as , Direpresentasikan sebagai vektor kolom dengan unsur n i, bentuk skalar saya dapat dihitung dari tensor bentuk saya sebagai
The range of both summations correspond to the three Cartesian coordinates . Kisaran kedua penjumlahan sesuai dengan tiga koordinat Cartesian .
The following equivalent expression avoids the use of transposed vectors which are not supported in maths libraries because internally vectors and their transpose are stored as the same linear array, Ekspresi setara berikut menghindari penggunaan vektor dialihkan yang tidak didukung dalam perpustakaan matematika karena internal vektor dan transposisi mereka disimpan sebagai array linier yang sama,
However it should be noted that although this equation is mathematically equivalent to the equation above for any matrix, inertia tensors are symmetrical. Namun perlu dicatat bahwa meskipun persamaan ini secara matematis setara dengan persamaan di atas untuk setiap inersia, matriks tensor simetris. This means that it can be further simplified to: Ini berarti bahwa dapat lebih disederhanakan:
[ edit ] Principal axes of inertia [ sunting ] Pokok sumbu inersia
By the spectral theorem , since the moment of inertia tensor is real and symmetric , it is possible to find a Cartesian coordinate system in which it is diagonal , having the form Dengan teorema spektral , sejak saat tensor inersia adalah nyata dan simetris , adalah mungkin untuk menemukan sistem koordinat Cartesian di mana ia diagonal , memiliki bentuk
where the coordinate axes are called the principal axes and the constants I 1 , I 2 and I 3 are called the principal moments of inertia . dimana sumbu koordinat disebut sumbu pokok dan konstanta I 1, I 2 dan I 3 disebut momen inersia utama. The principal axes of a body, therefore, are a cartesian coordinate system whose origin is located at the center of mass . [ 3 ] The unit vectors along the principal axes are usually denoted as ( e 1 , e 2 , e 3 ). Sumbu utama tubuh, oleh karena itu, adalah sistem koordinat kartesian yang asal terletak di pusat massa . [3] Unit vektor sepanjang sumbu utama biasanya dinotasikan sebagai (e 1, e 2, e 3). This result was first shown by JJ Sylvester ( 1852 ), and is a form of Sylvester's law of inertia . Hasil ini pertama kali ditunjukkan oleh JJ Sylvester ( 1852 ), dan merupakan bentuk 's Sylvester hukum inersia . The principal axis with the highest moment of inertia is sometimes called the figure axis or axis of figure . Sumbu utama dengan momen inersia tertinggi kadang-kadang disebut axis atau sumbu gambar tokoh.
When all principal moments of inertia are distinct, the principal axes are uniquely specified. Ketika semua momen inersia utama adalah berbeda, sumbu utama yang unik ditentukan. If two principal moments are the same, the rigid body is called a symmetrical top and there is no unique choice for the two corresponding principal axes. Jika dua momen utama yang sama, tubuh kaku disebut atas simetris dan tidak ada pilihan yang unik untuk dua sumbu utama yang sesuai. If all three principal moments are the same, the rigid body is called a spherical top (although it need not be spherical) and any axis can be considered a principal axis, meaning that the moment of inertia is the same about any axis. Jika semua tiga momen utama adalah sama, badan kaku disebut atas bola (walaupun hal ini tidak perlu bola) dan setiap porosnya dapat dianggap sebagai sumbu utama, yang berarti bahwa momen inersia adalah sama mengenai sumbu.
The principal axes are often aligned with the object's symmetry axes. Sumbu utama sering disejajarkan dengan sumbu simetri objek. If a rigid body has an axis of symmetry of order m , ie, is symmetrical under rotations of 360°/ m about a given axis, the symmetry axis is a principal axis. Jika sebuah benda tegar memiliki sumbu simetri dari m pesanan, yaitu simetris di bawah rotasi 360 ° / m pada sumbu tertentu, sumbu simetri adalah sumbu utama. When m > 2 , the rigid body is a symmetrical top. Ketika m> 2, tubuh kaku adalah atas simetris. If a rigid body has at least two symmetry axes that are not parallel or perpendicular to each other, it is a spherical top, eg, a cube or any other Platonic solid . Jika sebuah benda tegar memiliki dua sumbu simetri setidaknya pada yang tidak sejajar atau tegak lurus satu sama lain, itu adalah atas bola, misalnya, sebuah kubus atau lainnya Platonic solid .
The motion of vehicles is often described about these axes with the rotations called yaw, pitch, and roll . The gerak dari kendaraan sering digambarkan tentang kapak dengan rotasi yang disebut yaw, pitch, dan roll .
A practical example of this mathematical phenomenon is the routine automotive task of balancing a tire , which basically means adjusting the distribution of mass of a car wheel such that its principal axis of inertia is aligned with the axle so the wheel does not wobble. Sebuah contoh praktis dari fenomena matematika adalah tugas rutin otomotif menyeimbangkan ban , yang pada dasarnya berarti menyesuaikan distribusi massa roda mobil sehingga sumbu pokok kelembaman sejajar dengan as roda sehingga roda tidak bergetar.
[ edit ] Parallel axis theorem [ sunting ] teorema sumbu Paralel
Once the moment of inertia tensor has been calculated for rotations about the center of mass of the rigid body, there is a useful labor-saving method to compute the tensor for rotations offset from the center of mass. Setelah momen tensor inersia telah dihitung untuk rotasi tentang pusat massa tubuh kaku, ada metode hemat tenaga kerja yang berguna untuk menghitung tensor untuk rotasi offset dari pusat massa.
If the axis of rotation is displaced by a vector R from the center of mass, the new moment of inertia tensor equals Jika sumbu rotasi itu digantikan oleh R vektor dari pusat massa, momen baru tensor inersia sama
where m is the total mass of the rigid body, E 3 is the 3 × 3 identity matrix , and di mana m adalah massa total benda kaku, E 3 adalah 3 × 3 identitas matriks , dan is the outer product . adalah produk luar .
[ edit ] Rotational symmetry [ sunting ] simetri putaran
Using the above equation to express all moments of inertia in terms of integrals of variables either along or perpendicular to the axis of symmetry usually simplifies the calculation of these moments considerably. Dengan menggunakan persamaan di atas untuk mengekspresikan semua momen inersia dalam hal integral dari variabel baik sepanjang atau tegak lurus terhadap sumbu simetri biasanya menyederhanakan perhitungan saat ini jauh.
[ edit ] Comparison with covariance matrix [ sunting ] Perbandingan dengan matriks kovariansi
Main article: Moment (mathematics) Artikel utama: Moment (matematika)
The moment of inertia tensor about the center of mass of a 3 dimensional rigid body is related to the covariance matrix of a trivariate random vector whose probability density function is proportional to the pointwise density of the rigid body by: [ citation needed ] Momen inersia tensor tentang pusat massa dari benda tegar 3 dimensi ini berkaitan dengan matriks kovariansi dari vektor acak trivariate yang probabilitas fungsi kepadatan sebanding dengan kepadatan pointwise tubuh kaku oleh: [ rujukan? ]
where n is the number of points. dimana n adalah jumlah titik.
The structure of the moment-of-inertia tensor comes from the fact that it is to be used as a bilinear form on rotation vectors in the form Struktur momen-inersia tensor-berasal dari fakta bahwa itu akan digunakan sebagai bentuk bilinear pada rotasi vektor dalam bentuk
Each element of mass has a kinetic energy of Setiap elemen massa memiliki energi kinetik dari
The velocity of each element of mass is Kecepatan setiap elemen massa adalah where r is a vector from the center of rotation to that element of mass. di mana r adalah vektor dari pusat rotasi dengan elemen massa. The cross product can be converted to matrix multiplication so that The Produk silang dapat dikonversi menjadi perkalian matriks sehingga
and similarly dan sama
Thus, Dengan demikian,
plugging in the definition of memasukkan dalam definisi the yang term leads directly to the structure of the moment tensor. jangka mengarah langsung ke struktur tensor momen.
While a simple scalar treatment of the moment of inertia suffices for many situations, a more advanced tensor treatment allows the analysis of such complicated systems as spinning tops and gyroscopic motion.
The concept was introduced by Leonhard Euler in his book Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum in 1765.[1] In this book, he discussed the moment of inertia and many related concepts, such as the principal axis of inertia.
Moment of inertia is the name given to rotational inertia, the rotational analog of mass for linear motion. It appears in the relationships for the dynamics of rotational motion. The moment of inertia must be specified with respect to a chosen axis of rotation. For a point mass the moment of inertia is just the mass times the square of perpendicular distance to the rotation axis, I = mr2. That point mass relationship becomes the basis for all other moments of inertia since any object can be built up from a collection of point masses.
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/mi.html
This article is about the moment of inertia of a rotating object. For the moment of inertia dealing with the bending of a beam, see second moment of area.
In classical mechanics, moment of inertia, also called mass moment of inertia, rotational inertia, polar moment of inertia of mass, or the angular mass, (SI units kg•m²) is a measure of an object's resistance to changes to its rotation. It is the inertia of a rotating body with respect to its rotation. The moment of inertia plays much the same role in rotational dynamics as mass does in linear dynamics, describing the relationship between angular momentum and angular velocity, torque and angular acceleration, and several other quantities. The symbol I and sometimes J are usually used to refer to the moment of inertia or polar moment of inertia.
While a simple scalar treatment of the moment of inertia suffices for many situations, a more advanced tensor treatment allows the analysis of such complicated systems as spinning tops and gyroscopic motion.
The concept was introduced by Leonhard Euler in his book Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum in 1765.[1] In this book, he discussed the moment of inertia and many related concepts, such as the principal axis of inertia.
The moment of inertia of an object about a given axis describes how difficult it is to change its angular motion about that axis. Therefore, it encompasses not just how much mass the object has overall, but how far each bit of mass is from the axis. The farther out the object's mass is, the more rotational inertia the object has, and the more force is required to change its rotation rate. For example, consider two hoops, A and B, made of the same material and of equal mass. Hoop A is larger in diameter but thinner than B. It requires more effort to accelerate hoop A (change its angular velocity) because its mass is distributed farther from its axis of rotation: mass that is farther out from that axis must, for a given angular velocity, move more quickly than mass closer in. So in this case, hoop A has a larger moment of inertia than hoop B.Divers reducing their moments of inertia to increase their rates of rotationThe moment of inertia of an object can change if its shape changes. A figure skater who begins a spin with arms outstretched provides a striking example. By pulling in her arms, she reduces her moment of inertia, causing her to spin faster (by the conservation of angular momentum).
The moment of inertia has two forms, a scalar form, I, (used when the axis of rotation is specified) and a more general tensor form that does not require the axis of rotation to be specified. The scalar moment of inertia, I, (often called simply the "moment of inertia") allows a succinct analysis of many simple problems in rotational dynamics, such as objects rolling down inclines and the behavior of pulleys. For instance, while a block of any shape will slide down a frictionless decline at the same rate, rolling objects may descend at different rates, depending on their moments of inertia. A hoop will descend more slowly than a solid disk of equal mass and radius because more of its mass is located far from the axis of rotation, and thus needs to move faster if the hoop rolls at the same angular velocity. However, for (more complicated) problems in which the axis of rotation can change, the scalar treatment is inadequate, and the tensor treatment must be used (although shortcuts are possible in special situations). Examples requiring such a treatment include gyroscopes, tops, and even satellites, all objects whose alignment can change.
The moment of inertia is also called the mass moment of inertia (especially by mechanical engineers) to avoid confusion with the second moment of area, which is sometimes called the moment of inertia (especially by structural engineers). The easiest way to differentiate these quantities is through their units (kg•m² as opposed to m4). In addition, moment of inertia should not be confused with polar moment of inertia (more specifically, polar moment of inertia of area), which is a measure of an object's ability to resist torsion (twisting) only, although, mathematically, they are similar: if the solid for which the moment of inertia is being calculated has uniform thickness in the direction of the rotating axis, and also has uniform mass density, the difference between the two types of moments of inertia is a factor of mass per unit area.http://en.wikipedia.org/wiki/Moment_of_inertia
Dalam mekanika klasik , momen inersia, juga disebut massa momen inersia, inersia rotasi, momen kutub inersia massa, atau massa sudut, ( SI unit kg • m²) adalah ukuran objek perlawanan untuk perubahan kepada para rotasi . It is the inertia of a rotating body with respect to its rotation. Ini adalah inersia dari suatu benda berputar sehubungan dengan rotasi. The moment of inertia plays much the same role in rotational dynamics as mass does in linear dynamics, describing the relationship between angular momentum and angular velocity , torque and angular acceleration , and several other quantities. Momen inersia banyak memainkan peran yang sama dalam dinamika rotasi sebagai massa tidak dalam dinamika linier, menggambarkan hubungan antara momentum sudut dan kecepatan sudut , torsi dan percepatan sudut , dan kuantitas lainnya. The symbol I and sometimes J are usually used to refer to the moment of inertia or polar moment of inertia. simbol I dan kadang-kadang J biasanya digunakan untuk merujuk pada momen inersia atau momen inersia polar.
While a simple scalar treatment of the moment of inertia suffices for many situations, a more advanced tensor treatment allows the analysis of such complicated systems as spinning tops and gyroscopic motion. Sementara sederhana skalar perlakuan momen inersia sudah cukup untuk berbagai situasi, yang lebih canggih tensor pengobatan memungkinkan analisis sistem rumit seperti spinning tops dan gyroscopic gerak.
The concept was introduced by Leonhard Euler in his book Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum in 1765. [ 1 ] In this book, he discussed the moment of inertia and many related concepts, such as the principal axis of inertia. Konsep ini diperkenalkan oleh Leonhard Euler dalam bukunya corporum rigidorum Motus solidorum Seu Theoria pada 1765. [1] Dalam buku ini, ia membahas momen inersia dan konsep terkait, seperti sumbu utama inersia.
]
The moment of inertia of an object about a given axis describes how difficult it is to change its angular motion about that axis. Momen inersia dari suatu obyek pada sumbu tertentu menggambarkan betapa sulitnya untuk mengubah gerak angular tentang itu sumbu. Therefore, it encompasses not just how much mass the object has overall, but how far each bit of mass is from the axis. Oleh karena itu, meliputi bukan hanya berapa banyak massa objek telah secara keseluruhan, tetapi seberapa jauh setiap bit massa adalah dari sumbu. The farther out the object's mass is, the more rotational inertia the object has, and the more force is required to change its rotation rate. Semakin jauh dari massa objek adalah, inersia lebih rotasi objek memiliki, dan gaya lebih diperlukan untuk mengubah tingkat rotasi. For example, consider two hoops, A and B, made of the same material and of equal mass. Sebagai contoh, mempertimbangkan dua simpai, A dan B, terbuat dari bahan yang sama dan massa yang sama. Hoop A is larger in diameter but thinner than B. It requires more effort to accelerate hoop A (change its angular velocity) because its mass is distributed farther from its axis of rotation: mass that is farther out from that axis must, for a given angular velocity, move more quickly than mass closer in. So in this case, hoop A has a larger moment of inertia than hoop B. Hoop A berdiameter lebih besar tetapi lebih tipis daripada B. Hal ini membutuhkan lebih banyak usaha untuk mempercepat ring A (perubahan kecepatan angular) karena massa didistribusikan lebih jauh dari sumbu rotasi: massa yang jauh keluar dari sumbu harus, untuk diberikan kecepatan sudut, bergerak lebih cepat daripada massa lebih dekat masuk Jadi dalam hal ini, simpai A memiliki momen inersia lebih besar dari hoop B
Divers reducing their moments of inertia to increase their rates of rotation Divers mengurangi momen inersia mereka untuk meningkatkan tarif mereka rotasi
The moment of inertia of an object can change if its shape changes. Momen inersia suatu benda dapat berubah jika perubahan bentuk. A figure skater who begins a spin with arms outstretched provides a striking example. Seorang skater tokoh yang memulai spin dengan tangan terulur memberikan contoh yang mencolok. By pulling in her arms, she reduces her moment of inertia, causing her to spin faster (by the conservation of angular momentum ). Dengan menarik dalam pelukannya, ia mengurangi momen inersia, menyebabkan dia berputar lebih cepat (dengan konservasi momentum sudut ).
The moment of inertia has two forms, a scalar form, I , (used when the axis of rotation is specified) and a more general tensor form that does not require the axis of rotation to be specified. Momen inersia memiliki dua bentuk, suatu skalar bentuk, I, (digunakan ketika sumbu rotasi khusus) dan yang lebih umum tensor bentuk yang tidak memerlukan sumbu rotasi harus ditentukan. The scalar moment of inertia, I , (often called simply the "moment of inertia") allows a succinct analysis of many simple problems in rotational dynamics , such as objects rolling down inclines and the behavior of pulleys. Skalar momen inersia, I, (sering disebut hanya merupakan "momen inersia") memungkinkan analisis ringkas masalah yang sederhana dalam dinamika rotasi , seperti objek bergulir di tanjakan dan perilaku puli. For instance, while a block of any shape will slide down a frictionless decline at the same rate, rolling objects may descend at different rates, depending on their moments of inertia. Sebagai contoh, sementara blok bentuk apapun akan geser ke bawah penurunan gesekan pada tingkat yang sama, rolling objek mungkin turun pada tingkat yang berbeda, tergantung pada saat mereka inersia. A hoop will descend more slowly than a solid disk of equal mass and radius because more of its mass is located far from the axis of rotation, and thus needs to move faster if the hoop rolls at the same angular velocity. hoop A akan turun lebih lambat dari disk solid massa yang sama dan jari-jari karena lebih massa yang terletak jauh dari sumbu rotasi, dan dengan demikian perlu bergerak lebih cepat jika gulungan lingkaran pada kecepatan sudut yang sama. However, for (more complicated) problems in which the axis of rotation can change, the scalar treatment is inadequate, and the tensor treatment must be used (although shortcuts are possible in special situations). Namun, untuk (lebih rumit) masalah di mana sumbu rotasi bisa berubah, pengobatan skalar tidak memadai, dan perlakuan tensor harus digunakan (meskipun pintas yang mungkin dalam situasi khusus). Examples requiring such a treatment include gyroscopes, tops, and even satellites, all objects whose alignment can change. Contoh yang membutuhkan perawatan semacam ini termasuk giroskop, atasan, dan bahkan satelit, semua benda yang penyelarasan bisa berubah.
The moment of inertia is also called the mass moment of inertia (especially by mechanical engineers) to avoid confusion with the second moment of area , which is sometimes called the moment of inertia (especially by structural engineers). Momen inersia juga disebut momen inersia massa (terutama oleh para insinyur mekanik) untuk menghindari kebingungan dengan momen kedua daerah , yang kadang-kadang disebut momen inersia (terutama oleh para insinyur struktur). The easiest way to differentiate these quantities is through their units (kg•m² as opposed to m 4 ). Cara termudah untuk membedakan jumlah ini adalah melalui mereka unit (kg m² • Sebagai lawan m 4). In addition, moment of inertia should not be confused with polar moment of inertia (more specifically, polar moment of inertia of area ), which is a measure of an object's ability to resist torsion (twisting) only, although, mathematically, they are similar: if the solid for which the moment of inertia is being calculated has uniform thickness in the direction of the rotating axis, and also has uniform mass density, the difference between the two types of moments of inertia is a factor of mass per unit area. Selain itu, momen inersia tidak harus bingung dengan momen kutub inersia (lebih khusus lagi, momen kutub inersia area), yang merupakan ukuran objek kemampuan untuk melawan torsi (memutar) saja, walaupun, matematis, mereka serupa : jika padat yang momen inersia sedang dihitung memiliki ketebalan yang seragam dalam arah sumbu berputar, dan juga memiliki massa jenis seragam, perbedaan antara kedua jenis momen inersia adalah faktor massa per satuan luas.
Consider a rigid body rotating with angular velocity ω around a certain axis. Pertimbangkan sebuah benda tegar berputar dengan kecepatan sudut ω sekitar sumbu tertentu. The body consists of N point masses m i whose distances to the rotation axis are denoted r i . Tubuh terdiri dari N m i massa titik yang jarak ke sumbu rotasi dinotasikan r i. Each point mass will have the speed v i = ωr i , so that the total kinetic energy T of the body can be calculated as Setiap massa titik akan memiliki laju v i = ωr i, sehingga total energi kinetik T tubuh dapat dihitung sebagai
In this expression the quantity in parentheses is called the moment of inertia of the body (with respect to the specified axis of rotation). Dalam ungkapan ini kuantitas dalam kurung disebut momen inersia dari tubuh (terhadap sumbu rotasi tertentu). It is a purely geometric characteristic of the object, as it depends only on its shape and the position of the rotation axis. Ini adalah murni karakteristik geometrik objek, karena hanya bergantung pada bentuk dan posisi sumbu rotasi. The moment of inertia is usually denoted with the capital letter I : Momen inersia biasanya dinotasikan dengan huruf kapital I:
It is worth emphasizing that r i here is the distance from a point towards the axis of rotation , not towards the origin. Perlu menekankan bahwa saya r di sini adalah jarak dari titik terhadap sumbu rotasi, bukan ke arah asal. As such, the moment of inertia will be different when considering rotations about different axes. Dengan demikian, momen inersia akan berbeda ketika mempertimbangkan rotasi tentang sumbu yang berbeda.
Similarly, the moment of inertia of a continuous solid body rotating about a known axis can be calculated by replacing the summation with the integral : Demikian pula, momen inersia dari suatu benda padat terus menerus berputar pada sumbu yang dikenal dapat dihitung dengan mengganti penjumlahan dengan integral :
where r is the radius vector of a point within the body, ρ ( r ) is the mass density at point r , and d ( r ) is the distance from point r to the axis of rotation. di mana r adalah vektor radius sebuah titik dalam tubuh, ρ (r) adalah massa kepadatan di titik r, dan d (r) adalah jarak dari titik r dengan sumbu rotasi. The integration goes over the volume V of the body. Integrasi berjalan di atas volume V tubuh.
[ edit ] Properties [ sunting ] Properties
The moment of inertia of the body is additive. Momen inersia tubuh adalah aditif. That is, if a body can be decomposed (either physically or conceptually) into several constituent parts, then the moment of inertia of the whole body about a given axis is equal to the sum of moments of inertia of each part around the same axis. [ 2 ] Artinya, jika tubuh dapat diuraikan (baik fisik maupun konseptual) ke dalam beberapa bagian-bagian penyusunnya, maka momen inersia dari seluruh tubuh pada sumbu yang diberikan adalah sama dengan jumlah momen inersia masing-masing bagian di sekitar sumbu yang sama. [2]
Basing just on the dimensional analysis , the moment of inertia must take the form I = c•M•L 2 , where M is the mass, L is the “size” of the body in the direction perpendicular to the axis of rotation, and c is a dimensionless inertial constant . Mendasarkan hanya pada analisis dimensional , momen inersia harus mengambil bentuk I = c • M • L 2, di mana M adalah massa, L adalah "ukuran" dari tubuh dalam arah tegak lurus terhadap sumbu rotasi, dan c adalah sebuah konstanta inersia berdimensi. Additionally, the length Selain itu, panjang is called the radius of gyration of the body. disebut jari-jari rotasi tubuh.
If I x , I y , I z are moments of inertia around three perpendicular axes passing through the body's center of mass, then each of them cannot be greater than the sum of two others: for example I z ≤ I x + I y . Jika saya x, aku y, aku z adalah momen inersia sekitar tiga sumbu tegak lurus melewati tubuh tengah massa, kemudian masing-masing dari mereka tidak dapat lebih besar daripada jumlah dua orang lain: misalnya saya z ≤ aku x + I y. Here the equality holds only if the body is flat and located in the Oxy coordinate plane. Di sini kesetaraan yang berlaku hanya jika tubuh adalah datar dan terletak di Oxy koordinat pesawat.
If the object's moment of inertia I around a certain axis passing through the center of mass is known, then the parallel axis theorem provides a convenient formula to compute the moment of inertia I d of the same body around a different axis, which is parallel to the original and located at a distance d from it. Jika objek saat inersia saya di sekitar sumbu tertentu yang melewati pusat massa diketahui, maka teorema sumbu sejajar memberikan formula yang nyaman untuk menghitung momen inersia I d tubuh yang sama di sekitar sumbu yang berbeda, yang sejajar dengan asli dan terletak pada jarak d dari itu. The formula states: Menyatakan rumus:
This formula is only suitable when the old and the new axes are parallel. rumus ini hanya cocok jika yang lama dan yang sumbu baru paralel. In order to compute the moment of inertia about an arbitrary axis, one has to use the object's moment of inertia tensor . Dalam rangka untuk menghitung momen inersia pada sumbu yang sewenang-wenang, kita harus menggunakan objek momen tensor inersia .
The rotational kinetic energy of a rigid body with angular velocity ω (in radians per second) is expressed in terms of the object's moment of inertia: The rotasi energi kinetik dari sebuah benda tegar dengan kecepatan sudut ω (dalam radian per detik) dinyatakan dalam hal objek saat inersia:
This formula is similar to the translational kinetic energy K = ½ mv 2 . Formula ini mirip dengan energi kinetik translasi K = ½ mv 2. Thus, the moment of inertia I plays the role of mass in the rotational dynamics. Dengan demikian, momen inersia saya memainkan peran massa dalam dinamika rotasi. One key difference between the mass and the (scalar) moment of inertia is that the latter depends on the axis rotation and so is not truly invariant. Satu perbedaan kunci antara massa dan saat ini (skalar) dari inersia adalah bahwa yang terakhir tergantung pada putaran poros dan karenanya tidak benar-benar invarian. The invariant characteristic of the body in rotational motion is the tensor of moment of inertia I , defined later. Karakteristik invarian dari tubuh dalam gerak rotasi adalah tensor momen inersia I, ditentukan kemudian.
The angular momentum of the body rotating around one of its principal axis is also proportional to the moment of inertia: The momentum sudut tubuh berputar di sekitar salah satu sumbu utamanya juga sebanding dengan momen inersia:
This expression is parallel to the formula for translational momentum p = mv , where the moment of inertia I plays the role of mass m , and the angular velocity ω stands for the speed v . Ungkapan ini sejajar dengan rumus untuk translasi momentum p = mv, dimana momen inersia saya memainkan peran massa m, dan kecepatan sudut ω singkatan dari v kecepatan. The scalar formula is valid only for rotations around one of the principal axes of the body, and does not hold in other cases of interest, such as the torque-free precession of a rotating object. Rumus skalar hanya berlaku untuk rotasi di sekitar salah satu sumbu utama tubuh, dan tidak tahan dalam kasus-kasus lain yang menarik, seperti bebas torsi presesi dari objek berputar. The equivalent formula involving the tensor moment of inertia is always correct. Rumus setara melibatkan momen tensor inersia selalu benar.
Also when the body rotates around one of its principal axes, and the direction of the axis of rotation remains constant, one can relate the torque on an object and its angular acceleration in a similar equation: Juga ketika tubuh berputar di sekitar salah satu sumbu pokok, dan arah dari sumbu rotasi tetap konstan, seseorang dapat mengaitkan torsi pada objek serta percepatan sudut dalam suatu persamaan yang sama:
where τ is the torque and α is the angular acceleration . di mana τ adalah torsi dan α adalah percepatan sudut .
[ edit ] Examples [ sunting ] Contoh
Main article: List of moments of inertia Artikel utama: Daftar momen inersia
Diatomic molecule , with atoms m 1 and m 2 at a distance d from each other, rotating around the axis which passes through the molecule's center of mass and is perpendicular to the direction of the molecule. Diatomik molekul, dengan atom m 1 dan m 2 pada jarak d dari satu sama lain, berputar di sekitar sumbu yang melalui molekul pusat massa dan tegak lurus terhadap arah molekul.
The easiest way to calculate this molecule's moment of inertia is to use the parallel axis theorem . Cara termudah untuk menghitung molekul saat ini inersia adalah dengan menggunakan teorema sumbu sejajar . If we consider rotation around the axis passing through the atom m 1 , then the moment of inertia will be I 1 = m 1 •0 + m 2 • d 2 = m 2 d 2 . Jika kita mempertimbangkan rotasi sekeliling sumbu melewati m atom 1, maka momen inersia akan Aku 1 m = 1 • 0 + m 2 • d 2 = m 2 d 2. On the other hand, by the parallel axis theorem this moment is equal to I 1 = I + ( m 1 + m 2 )• a 2 , where I is the moment of inertia around the axis passing through the center of mass, and a is the distance between the center of mass and the first atom. Di sisi lain, dengan teorema sumbu sejajar saat ini sama dengan I 1 = I + (m 1 + m 2) • sebuah 2, dimana I adalah momen inersia sekitar sumbu yang melewati pusat massa, dan adalah jarak antara pusat massa dan atom pertama. By the center of mass formula, this distance is equal to a = m 2 d / ( m 1 + m 2 ) . Dengan pusat massa formula, jarak ini sama dengan m = 2 d / (m 1 + m 2). Thus, Dengan demikian,
Thin rod of mass m and length ℓ , rotating around the axis which passes through its center and is perpendicular to the rod. Tipis batang dengan massa m dan panjang ℓ, berputar di sekitar sumbu yang melalui pusatnya dan tegak lurus terhadap batang.
Let Oz be the axis of rotation, and Ox the axis along the rod. Biarkan Oz menjadi sumbu rotasi, dan Ox sumbu sepanjang batang. If ρ is the density, and s the cross-section of the rod (so that m = ρℓs ), then the volume element for the integral formula will be equal to d V = s •d x , where x changes from −½ ℓ to ½ ℓ . Jika ρ adalah densitas, dan s penampang batang (jadi m yang = ρ ℓ s), maka elemen volume rumus integral akan sama dengan d V = S • d x, dimana x perubahan dari - ½ ℓ untuk ½ ℓ. The moment of inertia can be found by computing the integral: Momen inersia dapat ditemukan dengan menghitung integral:
Solid ball of mass m and radius R , rotating around an axis which passes through the center. Solid bola dengan massa m dan jari-jari R, berputar di sekitar sumbu yang melewati pusat.
Suppose Oz is the axis of rotation. Misalkan Oz adalah sumbu rotasi. The distance from point r = ( x,y,z ) towards the axis Oz is equal to d ( r ) 2 = x 2 + y 2 . Jarak dari titik r = (x, y, z) terhadap sumbu Oz sama dengan d (r) 2 = x 2 + y 2. Thus, in order to compute the moment of inertia I z , we need to evaluate the integral ∭( x 2 + y 2 ) d V . Dengan demikian, dalam rangka untuk menghitung momen inersia I z, kita perlu mengevaluasi ∭ integral (x 2 + 2 y) d V. The calculation considerably simplifies if we notice that by symmetry of the problem, the moments of inertia around all axes are equal: I x = I y = I z . Perhitungan jauh menyederhanakan jika kita melihat bahwa dengan simetri dari masalah, momen inersia sekitar semua sumbu adalah sama: Aku x = aku y = I z. Then Kemudian
where r 2 = x 2 + y 2 + z 2 is the distance from point r to the origin. di mana r 2 = x 2 + y 2 + z 2 adalah jarak dari titik ke titik r asal. This integral is easy to evaluate in the spherical coordinates , the volume element will be equal to d V = 4 πr 2 d r , where r goes from 0 to R . Integral ini mudah untuk mengevaluasi dalam koordinat bola , elemen volume akan sama dengan d V = 4 πr 2 d r, dimana r pergi dari 0 sampai R. Thus, Dengan demikian,
[ edit ] Moment of inertia tensor [ sunting ] Momen inersia tensor
In three dimensions, if the axis of rotation is not given, we need to be able to generalize the scalar moment of inertia to a quantity that allows us to compute a moment of inertia about arbitrary axes. Dalam tiga dimensi, jika sumbu rotasi tidak diberikan, kita harus mampu untuk menggeneralisasi skalar momen inersia ke kuantitas yang memungkinkan kita untuk menghitung momen inersia sumbu sewenang-wenang. This quantity is known as the moment of inertia tensor and can be represented as a symmetric positive semi-definite matrix, I . Kuantitas ini dikenal sebagai momen inersia tensor dan dapat direpresentasikan sebagai semi-simetris definit positif matriks, aku. This representation elegantly generalizes the scalar case: The angular momentum vector, is related to the rotation velocity vector, ω by Representasi ini elegan generalizes kasus skalar: Vektor momentum sudut, berkaitan dengan vektor kecepatan rotasi, ω oleh
and the kinetic energy is given by dan energi kinetik diberikan oleh
as compared with dibandingkan dengan
in the scalar case. dalam kasus skalar.
Like the scalar moment of inertia, the moment of inertia tensor may be calculated with respect to any point in space, but for practical purposes, the center of mass is almost always used. Seperti skalar momen inersia, momen inersia tensor dapat dihitung sehubungan dengan setiap titik dalam ruang, tetapi untuk tujuan praktis, pusat massa hampir selalu digunakan.
[ edit ] Definition [ sunting ] Definisi
For a rigid object of N point masses m k , the moment of inertia tensor has components given by Untuk objek yang kaku titik massa m k N, momen inersia tensor memiliki komponen yang diberikan oleh
, ,
where mana
and I 12 = I 21 , I 13 = I 31 , and I 23 = I 32 . dan saya 12 = aku 21, aku 13 = I 31, dan saya 23 = I 32. (Thus I is a symmetric tensor.) Note that the scalars I i j with (Jadi saya adalah tensor simetris.) Perhatikan bahwa skalar saya i j dengan are called the products of inertia . disebut produk inersia.
Here I x x denotes the moment of inertia around the x -axis when the objects are rotated around the x-axis, I x y denotes the moment of inertia around the y -axis when the objects are rotated around the x -axis, and so on. Di sini saya x x menunjukkan momen inersia sekitar sumbu x-ketika objek yang berputar di sekitar sumbu x-, aku x y menunjukkan momen inersia sekitar sumbu y ketika objek yang berputar di sekitar sumbu x-, dan sebagainya.
These quantities can be generalized to an object with distributed mass, described by a mass density function, in a similar fashion to the scalar moment of inertia. Jumlah ini dapat digeneralisasi untuk sebuah objek dengan massa yang terdistribusi, yang digambarkan oleh suatu fungsi kepadatan massa, dengan cara yang sama dengan momen inersia skalar. One then has Satu kemudian memiliki
In more-concise notation: Dalam notasi yang lebih singkat:
where mana is the vector from the center of mass to a point in the volume, V and adalah vektor dari pusat massa pada suatu titik volume, V dan is their outer product , E 3 is the 3 × 3 identity matrix , and V is a region of space completely containing the object. adalah mereka produk luar , E 3 adalah 3 × 3 matriks identitas , dan V adalah wilayah ruang sepenuhnya berisi objek. Alternatively, the above can be described in indicial notation as: Atau, di atas dapat digambarkan dalam notasi indicial sebagai:
The diagonal elements of I are called the principal moments of inertia . Unsur-unsur diagonal I disebut momen inersia utama.
[ edit ] Derivation of the tensor components [ sunting ] Penurunan komponen tensor
The distance r of a particle at R jarak partikel di from the axis of rotation passing through the origin in the dari sumbu rotasi melewati asal di direction is Arah . . By using the formula I = m r 2 (and some simple vector algebra) it can be seen that the moment of inertia of this particle (about the axis of rotation passing through the origin in the Dengan menggunakan rumus I = m r 2 (dan beberapa aljabar vektor sederhana) dapat dilihat bahwa momen inersia partikel ini (sekitar sumbu rotasi melewati asal dalam direction) is arah) adalah This is a quadratic form in Ini adalah bentuk kuadrat di and, after a bit more algebra, this leads to a tensor formula for the moment of inertia dan, setelah aljabar sedikit lebih, ini mengarah pada formula tensor untuk momen inersia
. .
\This is exactly the formula given below for the moment of inertia in the case of a single particle. Inilah rumus yang diberikan di bawah ini untuk momen inersia dalam kasus partikel tunggal. For multiple particles we need only recall that the moment of inertia is additive in order to see that this formula is correct. Untuk partikel beberapa kita hanya perlu ingat bahwa momen inersia adalah aditif untuk melihat bahwa formula ini benar.
[ edit ] Reduction to scalar [ sunting ] Reduksi ke skalar
For any axis Untuk setiap sumbu , represented as a column vector with elements n i , the scalar form I can be calculated from the tensor form I as , Direpresentasikan sebagai vektor kolom dengan unsur n i, bentuk skalar saya dapat dihitung dari tensor bentuk saya sebagai
The range of both summations correspond to the three Cartesian coordinates . Kisaran kedua penjumlahan sesuai dengan tiga koordinat Cartesian .
The following equivalent expression avoids the use of transposed vectors which are not supported in maths libraries because internally vectors and their transpose are stored as the same linear array, Ekspresi setara berikut menghindari penggunaan vektor dialihkan yang tidak didukung dalam perpustakaan matematika karena internal vektor dan transposisi mereka disimpan sebagai array linier yang sama,
However it should be noted that although this equation is mathematically equivalent to the equation above for any matrix, inertia tensors are symmetrical. Namun perlu dicatat bahwa meskipun persamaan ini secara matematis setara dengan persamaan di atas untuk setiap inersia, matriks tensor simetris. This means that it can be further simplified to: Ini berarti bahwa dapat lebih disederhanakan:
[ edit ] Principal axes of inertia [ sunting ] Pokok sumbu inersia
By the spectral theorem , since the moment of inertia tensor is real and symmetric , it is possible to find a Cartesian coordinate system in which it is diagonal , having the form Dengan teorema spektral , sejak saat tensor inersia adalah nyata dan simetris , adalah mungkin untuk menemukan sistem koordinat Cartesian di mana ia diagonal , memiliki bentuk
where the coordinate axes are called the principal axes and the constants I 1 , I 2 and I 3 are called the principal moments of inertia . dimana sumbu koordinat disebut sumbu pokok dan konstanta I 1, I 2 dan I 3 disebut momen inersia utama. The principal axes of a body, therefore, are a cartesian coordinate system whose origin is located at the center of mass . [ 3 ] The unit vectors along the principal axes are usually denoted as ( e 1 , e 2 , e 3 ). Sumbu utama tubuh, oleh karena itu, adalah sistem koordinat kartesian yang asal terletak di pusat massa . [3] Unit vektor sepanjang sumbu utama biasanya dinotasikan sebagai (e 1, e 2, e 3). This result was first shown by JJ Sylvester ( 1852 ), and is a form of Sylvester's law of inertia . Hasil ini pertama kali ditunjukkan oleh JJ Sylvester ( 1852 ), dan merupakan bentuk 's Sylvester hukum inersia . The principal axis with the highest moment of inertia is sometimes called the figure axis or axis of figure . Sumbu utama dengan momen inersia tertinggi kadang-kadang disebut axis atau sumbu gambar tokoh.
When all principal moments of inertia are distinct, the principal axes are uniquely specified. Ketika semua momen inersia utama adalah berbeda, sumbu utama yang unik ditentukan. If two principal moments are the same, the rigid body is called a symmetrical top and there is no unique choice for the two corresponding principal axes. Jika dua momen utama yang sama, tubuh kaku disebut atas simetris dan tidak ada pilihan yang unik untuk dua sumbu utama yang sesuai. If all three principal moments are the same, the rigid body is called a spherical top (although it need not be spherical) and any axis can be considered a principal axis, meaning that the moment of inertia is the same about any axis. Jika semua tiga momen utama adalah sama, badan kaku disebut atas bola (walaupun hal ini tidak perlu bola) dan setiap porosnya dapat dianggap sebagai sumbu utama, yang berarti bahwa momen inersia adalah sama mengenai sumbu.
The principal axes are often aligned with the object's symmetry axes. Sumbu utama sering disejajarkan dengan sumbu simetri objek. If a rigid body has an axis of symmetry of order m , ie, is symmetrical under rotations of 360°/ m about a given axis, the symmetry axis is a principal axis. Jika sebuah benda tegar memiliki sumbu simetri dari m pesanan, yaitu simetris di bawah rotasi 360 ° / m pada sumbu tertentu, sumbu simetri adalah sumbu utama. When m > 2 , the rigid body is a symmetrical top. Ketika m> 2, tubuh kaku adalah atas simetris. If a rigid body has at least two symmetry axes that are not parallel or perpendicular to each other, it is a spherical top, eg, a cube or any other Platonic solid . Jika sebuah benda tegar memiliki dua sumbu simetri setidaknya pada yang tidak sejajar atau tegak lurus satu sama lain, itu adalah atas bola, misalnya, sebuah kubus atau lainnya Platonic solid .
The motion of vehicles is often described about these axes with the rotations called yaw, pitch, and roll . The gerak dari kendaraan sering digambarkan tentang kapak dengan rotasi yang disebut yaw, pitch, dan roll .
A practical example of this mathematical phenomenon is the routine automotive task of balancing a tire , which basically means adjusting the distribution of mass of a car wheel such that its principal axis of inertia is aligned with the axle so the wheel does not wobble. Sebuah contoh praktis dari fenomena matematika adalah tugas rutin otomotif menyeimbangkan ban , yang pada dasarnya berarti menyesuaikan distribusi massa roda mobil sehingga sumbu pokok kelembaman sejajar dengan as roda sehingga roda tidak bergetar.
[ edit ] Parallel axis theorem [ sunting ] teorema sumbu Paralel
Once the moment of inertia tensor has been calculated for rotations about the center of mass of the rigid body, there is a useful labor-saving method to compute the tensor for rotations offset from the center of mass. Setelah momen tensor inersia telah dihitung untuk rotasi tentang pusat massa tubuh kaku, ada metode hemat tenaga kerja yang berguna untuk menghitung tensor untuk rotasi offset dari pusat massa.
If the axis of rotation is displaced by a vector R from the center of mass, the new moment of inertia tensor equals Jika sumbu rotasi itu digantikan oleh R vektor dari pusat massa, momen baru tensor inersia sama
where m is the total mass of the rigid body, E 3 is the 3 × 3 identity matrix , and di mana m adalah massa total benda kaku, E 3 adalah 3 × 3 identitas matriks , dan is the outer product . adalah produk luar .
[ edit ] Rotational symmetry [ sunting ] simetri putaran
Using the above equation to express all moments of inertia in terms of integrals of variables either along or perpendicular to the axis of symmetry usually simplifies the calculation of these moments considerably. Dengan menggunakan persamaan di atas untuk mengekspresikan semua momen inersia dalam hal integral dari variabel baik sepanjang atau tegak lurus terhadap sumbu simetri biasanya menyederhanakan perhitungan saat ini jauh.
[ edit ] Comparison with covariance matrix [ sunting ] Perbandingan dengan matriks kovariansi
Main article: Moment (mathematics) Artikel utama: Moment (matematika)
The moment of inertia tensor about the center of mass of a 3 dimensional rigid body is related to the covariance matrix of a trivariate random vector whose probability density function is proportional to the pointwise density of the rigid body by: [ citation needed ] Momen inersia tensor tentang pusat massa dari benda tegar 3 dimensi ini berkaitan dengan matriks kovariansi dari vektor acak trivariate yang probabilitas fungsi kepadatan sebanding dengan kepadatan pointwise tubuh kaku oleh: [ rujukan? ]
where n is the number of points. dimana n adalah jumlah titik.
The structure of the moment-of-inertia tensor comes from the fact that it is to be used as a bilinear form on rotation vectors in the form Struktur momen-inersia tensor-berasal dari fakta bahwa itu akan digunakan sebagai bentuk bilinear pada rotasi vektor dalam bentuk
Each element of mass has a kinetic energy of Setiap elemen massa memiliki energi kinetik dari
The velocity of each element of mass is Kecepatan setiap elemen massa adalah where r is a vector from the center of rotation to that element of mass. di mana r adalah vektor dari pusat rotasi dengan elemen massa. The cross product can be converted to matrix multiplication so that The Produk silang dapat dikonversi menjadi perkalian matriks sehingga
and similarly dan sama
Thus, Dengan demikian,
plugging in the definition of memasukkan dalam definisi the yang term leads directly to the structure of the moment tensor. jangka mengarah langsung ke struktur tensor momen.
Komentar